CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC

elliptique. La solution complète directe est impossible, mais les développements en séries et des calculs théoriques, analogues à ceux qui ont été faits dans le premier cas, permettent de déterminer complètement l’évolution de la forme des figures d’équilibre et de leur grandeur.

Soient a et a' les deux rayons équatoriaux des cercles extérieurs et intérieurs de l’anneau. Pour x = a on a ÿ— — oo et pour x = oJ on a y— + oo. La formule (4i) donne alors les deux relations

43) a = k-ar*-\- Aa2+.B, — a'= /c2a'4-b A«'2-b B.

Ces deux formules déterminent A et B en fonction de a et a Le trinôme bicarré de (40 est donc positif et égal à a pour x — a et négatif, égal à — cl pour x ■=. a . Donc y’ ne s’annule qu’une fois entre a et a . La section de l’anneau n’a qu’une tangente parallèle au plan de l’anneau et où y et l’épaisseur de cet anneau sont maximums. C’est la plus grande des deux racines de ^(^), qui est entre a et a!. Pour a! très petit, B est très petit également, tend vers à . C’est la figure voisine du cas précédent où l’on avait B — o, b — o, h — 2,32.

123. Les formules des figures annulaires sont générales et comprennent les figures non annulaires comme cas particulier. — Dans l’expérience de Plateau, il y avait un axe matériel de rotation, qui était mouillé par le liquide. Par conséquent la masse liquide formait un anneau autour de cet axe de rayon o! et ce sont les équations (4i) et (42) qu’il faudrait appliquer en toute rigueur. Le long de l’axe matériel, pour x — a\ on aurait y — — oo et la seconde des équations (43) aurait -j -a! au premier membre.

Comme le liquide mouille l’axe de rotation, la tangente à la courbe croît brusquement au voisinage, et devient infinie, alors que dans le premier cas traité plus haut, masse sans axe matériel, cette tangente était nulle. Mais comme, dans l’expérience de Plateau, l’axe avait un rayon o! très petit, les développements en série montrent qu’au voisinage de cet axe les valeurs de y, ordonnée de la courbe méridienne, sont très rapidement les mêmes que celles du cas où l’axe matériel n’existerait pas. Les calculs faits précédemment restent donc strictement applicables à l’expérience

3l2 figures d'équilibre d une masse liquide en rotation.

de Plateau pour les figures de la masse, avant la formation des

anneaux.

Dans le cas d’un axe de rotation matériel à rayon à très petit on peut supposer aussi que le liquide ne mouille pas l’axe. Le liquide se creuse autour de l’axe et la tangente y prend une valeur ÿ ■=■- |-oo comme pour un anneau. On a exactement les mêmes formules (43) pour définir A et B. On voit également, d’après la valeur (45) de B, que si le rayon a! de l’axe de rotation est nul ou négligeable il en est de même de B. Les formules du problème précédent ne sont donc qu’un cas particulier des formules des figures annulaires, où la constante d’intégration B est nulle ou négligeable. L’intérêt de ce cas particulier est que ses formules sont complètement intégrables par les fonctions elliptiques.

Nous verrons que les figures calculées dans le cas des anneaux, par développements en séries, se raccordent exactement dans toutes leurs valeurs, pour a = o, avec celles du cas précédent, au moment de la formation de l’anneau pour h = 2,32.

Nous verrons également que toutes les relations démontrées dans le premier cas s’étendent aux anneaux, avec cette remarque qu’il y aura ici, outre le paramètre h, un second paramètre variable a' , ou plutôt pour déterminer la forme des figures. Dans le premier cas, il était constamment nul, dans les anneaux le rapport des deux rayons varie de o à i .

124. A chaque valeur du rapport des deux rayons de l’anneau correspondent des figures d’équilibre, qui sont toutes semblables entre elles. — La première des formules (43) peut s’écrire

cio2 a3

Le paramètre h est le même que dans le premier cas. Toutes les autres quantités pourront s’exprimer de même en fonction de h et leur variation ne dépendra que de celle de h.

On tire B des deux équations, et l’on a

- k-cia '2 =

A a et 5 ne dépendent que du rapport ^ et de h.