CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC

Ces valeurs portées dans Texpression +(#) de (4i) donnent.

(46) ♦(*) = a(fcîî+Aag + |)=aT(ï).

L’expression (42) s’écrira alors

Cette expression doit s’intégrer de a à x1 pour avoir la valeur de y, l’ordonnée de la courbe méridienne. Comme cp ne contient que h, le rapport ~ des deux rayons du tore et^j on obtiendra pour — une expression qui sera seulement fonction de ces trois quantités,

Comme nous avons une intégrale hyperelliptique, la fonction <ï> s’obtiendra par développements en séries. Pour les petits anneaux et les petites valeurs de a , on développe suivant les puissances entières de —• Quand a se rapproche de a, pour les anneaux à grand rayon, on développe suivant les puissances de i —

Pour x — a! , la courbe méridienne de l’anneau se forme, y = o dans (48) et l’on obtient la relation entre h et

Cette expression déterminera, pour chaque valeur de h, une ou plusieurs valeurs du rapport^-, trois au plus. Pour chacune de

ces valeurs de — , la courbe méridienne de la section de l’anneau, a

définie par (48) sera identique, en prenant a comme unité, quelle que soit la valeur des données p, co, f contenues dans h.

On verra en outre qu’à chaque valeur du rapport variant de o à i , ne correspond qu’une seule valeur de /*, dans (49) • Si donc on prend ~ comme paramètre, à chaque valeur de ce rapport corres-

3l4 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION,

pondra pour (48), en prenant a pour unité, une seule courbe méridienne, à laquelle toutes les autres seront homothétiques, dans le rapport d’homothétie a .

Il suffit donc ici de se donner ^ pour déterminer complètement

la forme de la figure d’équilibre. Il suffira de calculer ensuite la valeur de a d’après les données du problème pour déterminer la vraie grandeur de cette figure.

12o. Détermination du rayon intérieur de l’anneau et de sa variation. — On peut donc prendre a comme unité, pour déterminer la forme des figures. Faisons alors ci — i dans (46), on pourra écrire pour la parenthèse

(5o) ©(#) = hoc’*-\- A a?2 H- B.

L’expression <X> de (49), qui définit ~ ou a' en fonction de A, pourra s’écrire

a (hx*--\- A#2 H- B) dx \J X~ — - (hx’'--Jr A .Z2 H- B)2

v(x) dx \j x'2 — ®2(^r)

Cette intégrale donne une fonction de ci et de A, qui doit être nulle, d’après (49), pour les valeurs de a' et de A, qui correspondent à des figures d’équilibre. Nous allons déterminer la variation de cette fonction, par rapport à A, pour déterminer le nombre de ses racines en a', pour chaque valeur de A.

Prenons donc la dérivée de <I> par rapport à A, La dérivée de l’élément d’intégration donne

ih v/æ2 «s ~ Th

Or on a aussi

àh ~Jn,

x’2 dx

où cp1 est une expression toujours positive