CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC

L’expression (3) du rayon de courbure R. de la méridienne s’écrit dans le cas des anneaux, d’après (40?

Pour le cercle, ce rayon de courbure est constant, on le désigne par r et on le détermine pour la valeur x — a, d’où la seconde expression.

On a aussi r égal à la demi-différence de a et a', en remplaçant A et B par leurs valeurs (44)? (4$)? on obtient

(58) 2 Æ2a(a2 — a'2) = 1, r— ->(ci — a'),

d’où, en remplaçant k 2 par sa valeur en fonction de A,

tr \ Pw / (59) -j-ar(ci-

pto2a3

si a tend vers l’infini, r tend vers zéro, h tend vers l’infini.

D’autre part le volume du tore s’écrit d’après le théorème de Guldin, R étant le rayon de la circonférence décrite par le centre de la section,

(60) V = 2 tcR. Ter2 = 2 tu2 r2(a — r) = 2 7t2«3-^(i — - )♦

On voit également que r tend vers zéro quand a tend vers l’infini.

En multipliant (5g) et (60) l’une par l’autre, il vient

pw2Y r M 2 — r

2 tu2/ a 1 2 tu2/ W ~ a

Le carré de la vitesse de rotation est proportionnel au rapport du rayon de la section au rayon équatorial. Ces deux valeurs tendent vers zéro, quand a croît indéfiniment.

En portant la valeur ^ de (61) dans (69) on a

4M 7 / MA 7 „ tu2/

(62) Aw2 1 —co2 =1, hof- == = const.