CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

vers zéro quand R est très grand, car sur la sphère

dV c/V M ç/V M

cln ~ c/R’ ~ R h ’’ c/R “ R2

c/a = R- c/co,

en appelant c/oo un élément superficiel de la sphère concentrique de rayon i .

L’intégrale qui est relative à la sphère 1 devient (K étant fini)

R fPR-rfw=-

rXK

c/oj.

Elle tend bien vers zéro quand R augmente indéfiniment; il reste

d’où il suit que V est constant dans tout l’espace extérieur à S, et comme il est nul à l’infini, il est nul partout.

8. Formule de Poincaré. — Etant données deux fonctions V et V4 qui possèdent les propriétés d’un potentiel, la première par rapport à un corps T limité par une surface S et de densité p, la

seconde par rapport à un corps T0 S*, pt ( fig . 8), on aura, pour l’espace entier,

AV du

d\ i JV

dx dx

dVi dV

àVi àV\ dz dz )

dx — o.

Pour le démontrer, prenons un point O comme centre et décrivons une sphère de grand rayon 1 comprenant T et T, dans son

intérieur. La formule de Green appliquée au volume T' compris entre S et 2 donne

Vi AV dx -

= f da

dVi dW dx

Wi ÔW à y à y

dVy dY dz

dz ]

Vi -T— da.

drii

La normale extérieure au volume T' est la normale intérieure à T ; c est pour cela que nous écrivons

Etudions l’intégrale du second membre, relative à 2, quand le

rayon R de la sphère grandit indéfiniment. V1 est de l’ordre de d\ dY i

— = est de l’ordre de enfin du — R2 oL), désignant l’élément de surface correspondant à du sur la sphère de rajon i. On reconnaît que l’intégrale est de l’ordre de -j- et tend vers zéro quand R augmente indéfiniment.

Appliquons maintenant la formule de Green à la surface S et au volume T :

àVi dY dx

dYx dY dy dy

dVx <*v\ ^ Cv dY J

iràï)‘*t=lVl*r.da-

Ajoutons les deux équations; il vient, pour l’espace entier,

àVi dV dy dy

d\j àV\ dz dz J

dx :

car -7— = — en tout point de S.

cljii clne

Cette relation peut s’écrire, en étendant l’intégrale à tout

l’espace,

(I2) - -4«/vlP*+/(^

d Vx dY dy dy

dYx dV dz

dY\ s

5J )dx = °-

i° Cette formule nous permet de démontrer que les propriétés reconnues du potentiel sont caractéristiques .

Soit, en effet, une masse attirante de potentiel U, et soit U' une autre fonction possédant les propriétés analytiques de U. Je pose V = U — U'; cette nouvelle fonction V possède également les propriétés du potentiel. Elle est continue et finie, elle admet