CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

des dérivées premières continues, ses dérivées secondes sont discontinues et AV — o dans tout l’espace.

Appliquons la formule de Poincaré en faisant d’abord V< = V et en prenant pour V la valeur U — U'; on a

(,3) /v AV * +/[(g)V (g)V (g)2] * = »,

les intégrales étant étendues à tout l’espace. Or AV est nul partout, la seconde intégrale est donc aussi identiquement nulle

partout, ce qui exige — — = — = o, c est-a-dire V constant

et, comme V est nul à l’infini, V est nul dans tout l’espace et U' est identique à IJ.

2° En permutant V et V( dans la formule de Poincaré, il vient, en retranchant les deux équations ainsi obtenues,

(14) / (Vi AV — V AVi) clx — o ou ^"(oV ! — pi V) dx = o.

Mais p est nul partout à l’extérieur de T, et p, nul partout à l’extérieur de T< ; on peut donc écrire la formule précédente

(15) jf.pVi d- =üjT piV ch.

Nous utiliserons ce résultat dans l’étude de l’énergie potentielle d’un corps attirant.

9. Forme des surfaces équipotentielles. — Si l’on fait V = C, on obtient certaines surfaces dites équipotentielles . La force est, en chaque point, normale à la surface equipotentielle qui passe par ce point et elle est dirigée du côté des potentiels croissants. Ges surfaces peuvent se classer en trois espèces :

i° Si G est très petit, l’équation d’une surface équipotentielle peut se mettre sous la forme ^ -f- ^ =G, en appelant R la distance à un point intérieur du volume attirant. Pour R très grand, cette surface est voisine d’une sphère de centre O. Il y a donc des surfaces équipotentielles fermées entièrement extérieures aux masses attirantes et les enveloppant.

2° Il j a en général un maximum à l’intérieur des masses attirantes. Pour une valeur de G assez voisine de ce maximum, on obtient des surfaces complètement intérieures au corps attirant.

3° Enfin, pour des valeurs intermédiaires, on pourra trouver des surfaces équipotentielles situées en partie à l’intérieur) en partie à l’extérieur du corps attirant.

10. Potentiel de quelques corps attirants. — i° Sphère homogène. — Soient a son rayon et p sa densité. Pour le potentiel extérieur, on a immédiatement

Pour obtenir le potentiel intérieur, décomposons la sphère en deux parties dont l’une est la sphère de rayon r, sur laquelle se trouve le point considéré. L’altraction sur P de la couche extérieure est nulle. L’attraction de la sphère de rayon r est la même que si toute la masse était concentrée au centre

Le travail de l’attraction pour un déplacement élémentaire de P est

F dr = — ^ xf p r dr = / d\ ,

Y — ^ xpr--+- C.

Pour déterminer la constante C, on peut écrire que les deux valeurs du potentiel extérieur et intérieur deviennent égales sur la surface. Pour r — a, on a donc

On peut faire un certain nombre de remarques sur ce cas particulier :

a. Il n’y a pas de surfaces équipotentielles de la troisième catégorie ;

b. V est maximum au centre où sa valeur est 2tt a2p;

c. La surface libre est une surface équipotentielle.

Nous voyons sur cet exemple que l’expression analytique du