S — 3 AV

D’après la formule (44)» qui donne A, la formule (35) est un cas particulier de (66) en faisant a! = o, d’où B = o.

On aura de môme pour l’énergie

(67) W = Ii<o«+/S = I/(7S-6AV),

A remplace 1 : R0 de (36).

132. Stabilité de Péquilibre. — On a toujours, comme dans le premier cas, les deux formules qui définissent l’équilibre et sa stabilité

2/ d>U I /dSyd*I

dS co2 da- 2 W \da) «fS2

dr* I

Pour la stabilité il faut-r-^-^o. 11 faut étudier la variation du

moment d’inertie I par rapport à la surface totale S.

On montre d’abord que la courbe de variation de I par rapport à co est la même que celle de a par rapport à la même variable, celle de l’énergie également.

On en déduit ensuite que la courbe de variation de I par rapport à co, à partir de la formation des anneaux « = 0,7 1 , tourne d’abord sa concavité vers le haut, présente un point d’inflexion pour la vitesse maximum des anneaux co = 0,74, tourne ensuite sa concavité vers le bas jusqu’au point correspondant au minimum simultané de I, de S et de a, où la courbe a un point de rebroussement pour co = 0,66, la courbe tourne ensuite sa concavité vers le haut comme au début.

11 y a équilibre stable < o, seulement dans le second intervalle, quand la courbe tourne sa concavité vers le bas, pourcocom-

pris entre o,66 et 0,74* C’est la seconde partie de l’intervalle où a décroît, portion B'D.

133. L’expérience de Plateau et les résultats mathématiques. — Dans son « Mémoire sur les phénomènes que présente une masse liquide libre et. soustraite à l’action de la pesanteur » ( ') relate les résultats de ses expériences sur la rotation d’une masse d’huile dans un mélange d’eau et d’alcool d’égale densité. La rotation était obtenue au moyen d’un axe vertical, qui entraînait un disque dont le centre coïncidait avec celui de la sphère d’huile.

En faisant tourner la sphère d’huile on constate qu’elle s’aplatit aux pôles et se renfle à l’équateur, ire phase.

Pour une vitesse plus grande, elle se creuse aux pôles, en dessus et en dessous, en s’étendant dans le sens horizontal. Les deux pôles se touchent et la masse prend la forme d’un anneau pour une vitesse d’environ un tour par seconde, 2e phase.

En augmentant encore la vitesse du disque, l’anneau se dilate jusqu’à un diamètre de 9 à iocm, la section méridienne de l’anneau prenant une figure sensiblement circulaire, 3e phase.

Si l’on arrête la rotation, l’anneau se contracte, repasse par les mêmes phases en sens inverse, reforme la masse centrale, qui reprend sa forme sphérique, 4e phase (§ 11 du Mémoire).

L’évolution des formes est bien très exactement celle qui a été calculée par la théorie. Dans le développement maximum de l’anneau, en prenant le rayon delà sphère primitive comme unité, on aurait a — 1,26, ci — 2 et le rapport des axes de la section méridienne, supposée elliptique serait 0,98. Elle serait vue parfaitement circulaire.

Il faut remarquer que Plateau n’a pas noté de contraction brusque au moment de la formation de l’anneau, alors que, même au point de vue physique, elle est nécessaire, car il y a une pointe de rebroussement qui s’arrondit, et la tension superficielle doit ramener brusquement cette partie à sa nouvelle forme d’équilibre.

Dans l’expérience de Plateau, il faut augmenter continuellement la vitesse du disque pour arriver à la forme annulaire, et dilater l’anneau, alors que dans la théorie la vitesse de rotation co passe

P) Mémoires de V Académie royale de Bruxelles, t. 16.