CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC

par un maximum avant même la transformation en anneau. Mais, comme le constate Plateau, la vitesse delà masse est toujours inférieure à celle du disque et cela de plus en plus à mesure que la masse se dilate horizontalement. La vitesse de rotation « peut très bien diminuer quand celle du disque s’accroît. Il faut que le disque fournisse une énergie toujours plus grande pour permettre à la masse de vaincre les frottements du milieu, lui donner le moment

de rotation Ico ou l’énergie cinétique i Ico2, correspondant à sa vitesse co, même décroissante.

Cependant l’expérience de Plateau, qu’on est habitué à voir dans les livres, aboutissait au fractionnement de la masse d’huile en deux autres : une masse centrale entourée d’un anneau, qui pouvait lui-même se fractionner en plusieurs parties.

Mais cette seconde forme de l’expérience n’est qu’un cas très particulier des expériences générales précédentes, et obtenue par un artifice expérimental spécial. Ces résultats sont relatés seulement au paragraphe 21 du Mémoire de Plateau. 11 fallait placer le disque tournant à la partie inférieure de la masse d’huile et le faire tourner à une vitesse très grande de i5 tours par seconde.

Il j a alors une très grande différence de vitesse entre les différentes parties, comme le note Plateau. Ce sont ces différences de vitesse qui produisent alors le fractionnement et non la vitesse même.

Pour entreprendre l’étude mathématique de ce cas, il faudrait introduire des vitesses de rotations variables dans la masso et ce serait très compliqué.

On pourrait du moins réunir les deux résultats des discussions ci-dessus, fractionner une masse en deux autres, l’une centrale, l’autre annulaire, étudier les variations de leur forme et de leur grandeur, les amener à être tangentes avec la même vitesse de rotation, ou des vitesses différentes. On aurait une représentation de la seconde forme de l’expérience de Plateau.

On pourrait également renouveler l’expérience de Plateau en réalisant une vitesse de rotation plus uniforme, en faisant tourner le vase lui-même avec une accélération faible. La fixité et l’entraînement de la sphère d’huile pourrait être réalisée par un ou plusieurs fins réseaux métalliques placés à l’intérieur du vase.

134. Cas d’une masse soumise à la fois à la gravitation et à la tension superficielle. — A l'intérieur de la masse la gravitation et la force centrifuge agissent seules. Les surfaces d’égale pression seront données, comme dans le cas de la gravitation seule, par la formule (48) (Chap. III). A la surface, il faudra ajouter comme dans (2), n° 109, la pression extérieure p\ , qui rentre dans la constante et le potentiel dû à la tension superficielle, que nous désignerons maintenant par f', au lieu de /, qui représente la constante de la gravitation. On aura pour définir l’équilibre de la surface libre, V représentant le potentiel dû à la gravitation,

(69) /VH-iW^-£(^H-i)=C.

Le terme V croît comme le carré des dimensions, alors que la tension superficielle varie en raison inverse du rayon de courbure, qui est proportionnel aux dimensions linéaires, pour des figures semblables. Pour les grandes masses c’est donc l’attraction qui l’emportera, l’action de la tension superficielle sera négligeable. Pour les petites masses au contraire la gravitation deviendra négligeable et c’est la tension superficielle qui seule jouera un rôle pour limiter et définir la grandeur de la déformation créée parla force centrifuge.

135. Relation de Poincaré étendue à ce cas général. — Nous avons établi au n° 29 (Chap. IV) une relation remarquable due à Poincaré, dans le cas de la gravitation seule, entre l’énergie totale W de la masse, son moment de rotation I, son volume T et la valeur de la fonction de force constante à la surface U0. On peut l’étendre au cas de la tension superficielle par le même calcul. On a ici d’après (69), p = 1 ,

Les variations ôV, èl dans le cas d’un déplacement virtuel quelconque sont les mêmes qu’au ne 29. On a de plus pour la variation de la surface