CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC

Pour la fonction U on aura, comme dans (29) (Chap. III).

Dans le cas d’un déplacement compatible avec les liaisons, <5T = 0, on a

Dans le cas d’un déplacement homothétique, on aura la même démonstration qu’au n° 29 avec en plus 5 S — 2 s S, d’où la relation qui remplace (87)

Remarque. — D’après ce qui a été dit au n° 28, où W représente l’énergie totale, donc aussi l’énergie superficielle de la masse, égale ici à — f S, on aurait pu, en l’explicitant, écrire immédiatement la formule (72) déduite de (84) (Chap. IV), puis en tirer (74).

136. Séparation des cas où une seule des deux actions est sensible, tension superficielle ou gravitation. — Si la vitesse de rotation est faible, les figures d’équilibre sont des ellipsoïdes de révolution dans les deux cas. Leur aplatissement est déterminé par la formule (18) (n° 113) dans le cas de la tension superficielle, a

et égal à ~<p, dans le cas de l’attraction, 9 étant le rapport entre la force centrifuge et l’attraction. On a

Dans le cas de la gravitation, l’aplatissement ne dépend pas de la masse, comme dans le premier cas, mais seulement de la densité p. Une goutte d’eau tournant avec la vitesse de la Terre aura un aplatissement inverse des densités, ou 5,5 fois plus grand.

La déformation sera la même pour la même vitesse de rotation, dans les deux cas, quand les coefficients sont égaux :

32 71 /' ~ 16 Tzf p

où r esl le rayon de la masse sensiblement sphérique. Dans l’expérience de Plateau on avait f' = 55, prenons p = i , on obtient r= 1 2m, 5 . L’action de la gravitation et de la tension superficielle serait égale pour une sphère d’huile de i2m,5 de rayon.

Pour un rayon 10 fois plus grand, soit 125“, la masse serait jooo fois plus grande. L’aplatissement dû à la force centrifuge, limitée par la tension superficielle seule, serait 1000 fois plus grande, d’après (75), où e est proportionnel à M. Cet aplatissement reste au contraire le même dans le cas de l’attraction. L’attraction réduira donc à 0,001 la déformation, qui serait due à la tension superficielle. Cette dernière est donc complètement négligeable, dans ce cas, et pour des masses plus grandes.

Pour un rayon 10 fois moindre, im,25, c’est au contraire la tension superficielle, qui réduit à un millième de sa valeur l’aplatissement, alors que l’attraction ne le modifierait pas. Ici et pour des masses plus faibles, c’est donc l’attraction qui est négligeable.

Dans le cas des expériences de Plateau, masse d’huile de 3C1U de rayon, valeur 760 fois plus petite que i2m,5, il faut que co2 soit 75o3 fois plus grand, ou w environ 1800 fois plus grand que la vitesse de rotation de la Terre, c’est-à-dire 1 tour 1 / 4 par minute, pour que l’aplatissement soit le même que celui de la Terre.

137. L’expérience de Plateau et l’hypothèse de Laplace. La formation des planètes. — On a voulu voir dans l’expérience de Plateau la confirmation expérimentale de l’hypothèse de Laplace, expliquant la formation des planètes, par l’atmosphère du Soleil, autrefois très dilatée, et qui se serait fractionnée en anneaux successifs. Chacun d’eux, en se concentrant en une seule masse, aurait donné naissance à une planète.

D’après les calculs du numéro précédent il ne peut y avoir aucun rapport entre l’expérience et l’hypothèse, car dans l’hypothèse cosmogonique c’est la gravitation seule qui contre-balance la force centrifuge. Dans l’expérience de Plateau au contraire c’est la tension superficielle seule.

De plus, dans l’expérience de Plateau, c’est par dilatation de la masse que se produit le fractionnement, dans l’hypothèse de Laplace au contraire c’est par concentration de la masse. Cette