CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

potentiel n’est pas la même à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère. Ces deux expressions ne sont pas le prolongement analytique l’une de l’autre.

2° Ellipsoïde homogène. — L’attraction des ellipsoïdes a fait l’objet de très nombreux travaux. Lejeune-Dirichlet, en exposant sa méthode dans le Tome 32 du Journal de Crelle , résume tout ce qui a été fait sur la question. C’est une méthode de vérification. On écrit une certaine expression analytique pour l’intérieur et pour l’extérieur, et l’on montre que ces fonctions jouissent des propriétés caractéristiques du potentiel, qu’elles sont bien le potentiel.

Soient un ellipsoïde à trois axes inégaux, X, Y, Z les coordonnées d’un point de la surface, et x, y, z celles d’un point extérieur P ; on aura

Considérons maintenant l’équation suivante :

Le premier membre est positif pour u — o, décroît constamment quand u augmente, et devient égal à — 1 pour u infini. L’équation admet donc une et une seule racine positive. Soit u cette racine; le potentiel à l’extérieur a pour expression

(90) V = Tzcibco j* ^ ^1

où l’on pose

y2 z 2 \ dX

b'1 H- X. c2-hX/y/ç(X)

u dépend de x , y, z. Ainsi V dépend de x , y, z de deux façons : par la quantité sous le signe somme , et par la limite inférieure de l’intégrale.

Pour un point intérieur x , y, z) on aura

y2 22 \ dX