t- X C--+-XJ y/o(X

Sur la surface, la racine u est nulle. Les deux fonctions considérées se raccordent donc sur la surface.

Ces fonctions V ont bien les propriétés du potentiel. En effet :

i° Ces fonctions sont finies et continues . Si P s’éloigne indéfiniment de façon que OP tende vers une direction fixe a, (3, y, V tend vers zéro comme En effet, posons

x == a R . y= ^R, z — yR, u = ÆR2.

L’équation de condition deviendra

ft2R2

«2+ *R2 62+ *R2 c2+/fR2

Cette équation a une racine positive en k, dès que P est extérieur à l’ellipsoïde. Si R augmente indéfiniment, cette expression devient

d’où

Ainsi, quand R augmente indéfiniment, la limite de ~ est i, u devient infini comme R2, et l’intégrale devient nulle de l’ordre

2° Les dérivées premières sont continues , et AV = — 4^p dans tout V espace, p étant nul à l’extérieur de l’ellipsoïde. La vérification se fait par un calcul qu’on trouvera dans le Tome III de ce Traité, n° 602, Chapitre XXIX.

S urfaces équipotentielles de l’ellipsoïde homogène. — Posons

<P OC) Jo

dl

h (a2+X)v/ <p(X) Jo (&2+X)v/cp(X)

Le potentiel à l’intérieur s’écrira

(23) Y =• xabcp(K — Ax- — BjK2-f-Cs2).

Il est maximum au centre et égal à 7r abcp R.