CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

Les surfaces équipotentielles sont données par l’équation

(24) K — A#2 — By- — G z^=h ou A#2 h- Bj2 | C.22 = K — A = p;

tant que la valeur de h est suffisamment voisine de K, l’ellipsoïde ainsi défini reste à l’intérieur de l’ellipsoïde attirant, et les surfaces équipotentielles sont des ellipsoïdes homothétiques et concentriques.

Comparons ces surfaces à l’ellipsoïde attirant en supposant c <C b < a ] on a

pour toutes les valeurs de 1. On a donc, entre les intégrales A, B, C, les relations

Écrivons l’ellipsoïde de potentiel constant; on a

ainsi, les ellipsoïdes sont allongés dans le même sens que l’ellipsoïde attirant.

Fig* 9-

Mais leur excentricité est moindre, ils sont moins aplatis. En effet, formons la combinaison

Ao! — Bè*== [m(-± ' »)*L.

JQ \ a2 H- X b~-+- X/ y/<p(X)

/ 7 n \ rn x d\

— (ci2 — b2) I — — •

Cette expression est positive; on a donc bien A a2 — Bè2> o, jy, <

abc

Supposons que l’ellipsoïde de niveau grandisse en restant homothétique, c’est-à-dire que la constante h partant de la valeur maximum K diminue. Au moment où les deux ellipsoïdes deviennent tangents, on a ( fig . 9)

: K Ce2

Donc l’ellipsoïde de niveau, d’abord constamment intérieur au volume attirant, lui devient tangent aux deux extrémités du petit axe c au moment où c = c, mais reste entièrement à son intérieur.

Faisons décroître encore h. La surface équipotentielle se compose alors de deux portions de surface : une portion d’ellipsoïde à l’intérieur, et une autre surface à l’extérieur {fig. 10). Mais, le

long de la courbe d’intersection de l’ellipsoïde attirant et de la surface de niveau, les surfaces extérieures et intérieures se raccordent, car elles ont même plan tangent. Les éléments de courbure, au contraire, sont discontinus, car ils dépendent des dérivées secondes.

Au moment où b 1 — b, on a encore — «< 1 . La surface de niveau

Fig. 11.

Fig. 12.

est tangente à l’ellipsoïde attirant aux extrémités de l’axe moyen.