CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

menterais l’attraction en transportant la masse m de M en M'. (C’est ici que Je raisonnement n’est pas rigoureux; car, en transportant cette masse M, on change aussi la direction de P a?.)

Ainsi, pour qu’on ne puisse pas augmenter l’attraction par des déplacements de masses, il faut que toutes les composantes telles que F# soient égales, c’est-à-dire qu’il faut avoir sur la surface libre

co s 0 ^

Le solide de plus grande attraction est donc limité par une surface de révolution dont la méridienne a pour équation la relation ci-dessus. Pour obtenir la forme de la courbe, on peut faire K= i et l’on a

r2 == cos 0.

Cette courbe est extérieure au cercle r* = cosô et en diffère peu.

La direction de l’attraction est précisément l’axe de révolution pour le point A où l’attraction est maximum {fig- i4)*

2° Maximum de potentiel. — On se donne p, P et T ; il s’agit de disposer la masse attirante de telle sorte que le potentiel soit maximum en P. Or, on a

Si l’on diminue les distances r, V augmente. P ne peut pas être extérieur. Je dis que P doit être à égale distance de tous les points de la surface. En effet, soient M et M' deux éléments de même

masse m situés sur la surface, r et r' étant leurs distances à P avec r < On augmentera la valeur du potentiel en P en transportant la masse m située en M' à côté du point M.

Ainsi le potentiel sera maximum quand on disposera la masse attirante suivant une sphère homogène de centre P. Si T et p sont donnés, on en déduit le rayon a de la sphère et le potentiel maximum au moyen des formules

T=|jca8, Y = ir. a- o.

3° Maxim um d'énergie. — On se donne une masse homogène de densité p, de volume T ; il faut disposer la masse de façon que l’énergie soit maximum.

a . Il faut montrer d’abord que l’énergie est limitée supérieurement. Donnons au corps une forme quelconque, on a

w-ï/pv*-

Considérons d’autre part la sphère de même volume T et de rayon a; on a vu que, dans ce cas, le potentiel a pour maximum celui de la sphère en son centre. On a donc partout

Dans l’expression de l’énergie, en remplaçant V en chaque point par son maximum absolu, on aura une limite supérieure de W :

\V < r.a-o2J^ ch, W < xa2p2 T,

et, en remplaçant le volume T par sa valeur actuelle,

(37) \V<|rca5p2.

Ainsi l’énergie potentielle d’un corps quelconque de volume T, même, pour la sphère de même volume, est inférieure à cette limite.

L’énergie est limitée supérieurement. Elle a un maximum maximorum. A-t-elle un minimum? Non, car en allongeant le