CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

corps indéfiniment, on peut diminuer son énergie autant qu’on le veut.

b. H J a un maximum maximorum et peut-être des maxima relatifs. Quelles sont les formes telles que l’énergie du corps passe par un maximum ?

Liapounoff a démontré en toute rigueur ( voir Poincaré, Figures d'équilibre d'une masse fluide, p. i5) que la sphère donne le maximum absolu d’énergie. Mais on peut se demander s’il ne peut pas exister d’autres figures pour lesquelles W passe par un maximum relatif, ou s’il n’existe pas de figures pour lesquelles 8W soit nul sans qu’il y ait maximum, car <5W = o est une condition nécessaire et non suffisante du maximum. Ce sont là des recherches intéressantes à entreprendre. Il est probable, toutefois, qu’il n’existe pas d’autres figures que la sphère où l’énergie soit maximum.

13. Attraction des surfaces. Simples couches. — Prenons une surface limitée S, fermée ou non. C’est une surface matérielle d’épaisseur infiniment petite. Un élément de r de la surface aura une masse dm. On appelle densité superficielle p le rapport

p. est une fonction des coordonnées a, b, c de du parfaitement

Fig. . i 5.

déterminée en chaque point. Elle peut être toutefois discontinue quand du traverse certaines lignes de la surface.

Le potentiel V est une fonction de x , y, z

' jj. ch

y ni Ç dm Ç jj. ch

~ ^ r ~JS ~ X r

V est fini et continu dans tout l’espace, même quand on traverse la surface. A l’infini, V devient nul de l’ordre de —• Mais les dérivées sont discontinues quand on traverse la surface. En effet, désignons par ne et iii les deux normales intérieure et extérieure en un point A de la surface; on a, en prenant deux poinls infiniment voisins de part et d’autre de la surface S {fig* 1 5 ) ,

dX

dn,

dX .

dn, ~ 4r,i'

Mais le potentiel reste continu, car on a