CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. \l
(1 y a une forme évidente d’équilibre : c’est la sphère. Dans ce cas, l’attraction est normale à la surface en chaque point, et la surface est bien une surface équipotcnlielle.
Il est aisé de faire le calcul. Supposons /?0 = o. A l’intérieur,
on a
à la surface la pression est nulle, ce qui permet de déterminer la constante
o=/^2 7ca2p — ^ rca2p^ H- C, d’où ^ ~ ^nfp(a2 — r2).
p augmente quand r diminue et la pression est maximum au centre où
(4o) Pc = ^ r:f p2 a/1.
On peut se faire une idée de la pression énorme au centre de la Terre, supposée immobile, liquide et homogène. On a pour la densité moyenne 5,5; pour le rayon terrestre moyen, 6366km; enfin, pour évaluer f, on peut considérer la Terre comme sphérique et désignant par g l’accélération à la surface
y ai -4 rca- p 4 -
j ~ïT= ***"*•
d’où
pc = - gpa = -981 X 5,5 x 6, 366 x iof
dynes
, , dynes
= 1,72 x 1 o 1 2 — =1.7x10' atm.
cm2
La sphère est donc une solution du problème. N’y en a-t-il pas d’autres? C’est probable, mais ce n’est pas rigoureusement démontré. Il faudrait pour cela démontrer qu’une masse homogène immobile, telle que la surface libre soit une surface équipotentielle, est nécessairement une sphère.
LiapounofF a étudié le problème à un autre point de vue. Considérons des forces appliquées à un système, et supposons que ces forces dépendent d’une fonction de forces
(40 2(X 8# -h Y Sy -+- Z 8.s)= 8.U(a?i, yi, zlf x%, y%, • • .).
Les positions d’équilibre sont celles pour lesquelles la somme des travaux des forces appliquées est nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons. Alors dU = o. D’ailleurs, si ôU-= o, il n’y a pas nécessairement équilibre, autrement dit la condition n’est pas réciproque.
Dirichlet a montré que, pour qu’un équilibre soit stable, il suffit que D soit maximum dans cette position. Si ôU — o sans que U soit maximum, l’équilibre est instable, comme il résulte de travaux récents (t. II, n° 449, 3e édit.). Dans l’étude du problème considéré, les pressions sont des forces de liaison, et les seules forces à considérer sont les attractions. Ces forces d’attraction dérivent d’une fonction de forces
Pour trouver les positions d’équilibre, il faut encore ôL = o, donc ôW = o. Mais, comme on l’a vu, <5W peut être nul sans que W soit maximum. La sphère est la figure qui correspond au maximum absolu d’énergie ; c’est donc à coup sûr une figure d’équilibre stable. Mais il faudrait démontrer rigoureusement qu’il n’existe pas de figures correspondant à des maximums relatifs de W, ni d’autres figures pour lesquelles ôW = o, sans que \V soit maximum. Pourtant, il est probable que la sphère est la seule figure donnant un maximum.
13. Masse homogène en mouvement conservant une forme invariable. — Nous supposerons que sur la surface extérieure s’exerce une pression constante. Nous avons vu que le centre de gravité G est animé d’un mouvement rectiligne et uniforme. Par rapport à des axes de directions fixes entraînés par G, le mouvement est le même que si G était immobile. Nous pouvons donc supposer G immobile.
Si la masse se meut en conservant une forme invariable, elle se meut à la façon d’un corps solide. Ce sont les équations d’Euler qui régissent ce mouvement. Considérons les trois axes principaux d’inertie Gx, Gy , G z attachés à la masse et entraînés dans son mouvement. Soient A, B, Clés moments d'inertie par rapport aux axes principaux. Soient w la rotation instantanée, p. q , r ses pro-
