CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. 4ç
Ce sont des ellipsoïdes de révolution autour du même axe Or, l’ellipsoïde dont nous sommes partis est soumis à sa surface à une pression constante ou nulle. Pour que ce soit une surface d équilibre, il faut et il suffit que cette surface extérieure soit une surface d’égale pression. Il faut donc qu’on puisse déterminer la constante G de façon que l’ellipsoïde d’égale pression se confonde avec l’ellipsoïde d’équilibre. Il suffit d’exprimer que les coefficients sont proportionnels, et l’on a les conditions
On tirera G de ces équations et l’on en déduira l’équation de condition entre les axes et w. Il faut montrer que cette équation de condition peut être réalisée.
i° Gette condition exige quel ' ellipsoïde soit aplati, c’est-à-dire que l’axe de rotation soit le plus petit axe, c > a. En effet, cette condition peut s’écrire
a2 P — c2 R = a2 to2 > o
vAp(X) (c2h-X) v/?( \d\
dk
, , r°° Xi
La seconde intégrale étant nécessairement positive, on a a- — c- >> o ou a^> c. Ainsi, l’ellipsoïde estnécessairement aplati.
2° c étant la distance du centre au foyer, ~ est l’ excentricité — Introduisons la quantité ~=l analogue à
l’excentricité, on a
Nous allons chercher à exprimer l’équation de condition en fonction de l. Divisons-la d’abord par c2, elle s’écrira
P et R dépendent des axes ou plutôt du rapport des axes seulement,
APPKLL.
5o FIGURES D’ÉQUILIBRE D*UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
car, dans l’équation ci-dessus, ni w ni l ne dépendent de l’unilé de longueur, ni P ni R par conséquent. Pour faire le calcul de P, posons 1 — c-t :
c dt
' == 2 71 Or cf O f
Remplaçons a 2 par sa valeur ci-dessus en fonction de c- et de il vient
fP(i + n r dl ;
P ne dépend plus que du rapport des axes. 11 suffit maintenant de poser t- f- i —u- pour rendre l’expression rationnelle. On trouve
P = 2 7ï / p — — — ( arc tan£ £ — -
R = 2 7ï /p — — (2^ — 2 arc tang/);
en portant ces valeurs de P et R dans l’équation de condition, on a
co'2 (3 d- l 2 ) arc tang l — 3 /
C’est la seule équation de condition, et, si elle est vérifiée, nous pourrons toujours déterminer la valeur de C qui correspond à la surface extérieure.
Généralement, on se donne M et co; est-il possible alors d’avoir comme figure d’équilibre un ellipsoïde de révolution? L’équation (55) donnera les valeurs de / s’il y en a qui résolvent le problème, puis on aura la valeur des axes par les formules
(56) M — | Ti a2 co = ~ 7rpc3(i -h l2) = ~ 7rp a ■ ■ •
Ces dernières équations donnent a et c, connaissant M et L
19. Discussion. — Toute la difficulté du problème est concentrée sur la résolution de l’équation transcendante (55).
Désignons par h la valeur du second membre de cette équation;
