CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI
pour / très petit, on a arc tang l — l —
)ù e désigne l'aplatissement, défini par rapport à l et aux axes par
{i — ey
Pour l=o, on a donc' h — o, puis, l croissant, h >> o.
Pour / infini, on a arc lang/ = ^ ; h est de l’ordre et, par conséquent, nul. Ainsi h est nul aux deux limites, et d’abord crois-
sant.
Prenons la dérivée de h par rapport à /, on obtient
. / — arc tang/.
dh 9 / 1\ 7^2'+'9
— —KO, ?(0=(lV,2)( *)•
dl
dh
Le signe de -jj est le même que celui de cp(/). Pour l très petit, on a, en négligeant/7,
<p(7) = l( i — ^ Z2 -b — Z4 4-. . . ) — arc tang / = Z5. . . .
La dérivée est d’abord nulle, puis devient positive. A l’infini, 9 (/) se réduit à — ^ et la dérivée est négative.
Prenons de nouveau la dérivée de cp (/) par rapport à /, on a
Cette expression est d’abord positive, s’annule pour 1 = ^ 3, puis devient négative. L’expression ©(/), nulle pour 1 = o, sera d’abord croissante jusqu’au maximum <p, (/) pour 1= ^3, puis toujours décroissante pour \J 3, et tendra vers — ^ • Par consé-
quent, ©(/) aura une racine et une seule /0 > \/3. Il en sera de même pour ^ •
Désignons par /„ cette valeur de l qui annule cp(Z) et elle est définie par
arc tang l —
On trouve /0 — 2,53. . . , et la valeur correspondante de h est h0 = 0,224- Ainsi pour l <[ /0, on a ^ > o, la fonction est croissante; pour 1^>Iq , elle est décroissante; elle est maximum pour
l=lo-
Prenons deux axes OZet OA, et traçons la courbe représentative de A' = cp(/) et de h — le second membre de (55) (fig. 17).
Fig. 17.
LJordonnée de la courbe <p(Z) part de O, a un maximum pour l = y/3, s’annule pour L — l0 =-2,53 ... , et tend ensuite vers — ~ •
La courbe h part de O tangente à 01, son ordonnée croît jusqu’à un maximum h == A0 = 0,224. . . pour l = l0, puis décroît en se rapprochant asymptotiquement de l’axe 01. Pour le tracé de la courbe, on a pris pour les ordonnées une unité 10 fois plus grande que pour les abscisses.
Cette courbe des valeurs de h étant tracée, quand on se donnera w, il suffira, pour trouver les valeurs de i, de mener parallèlement
à 07 la droite CD d’ordonnée h{ == — M - ♦ Les valeurs /, et L de l
correspondant aux points d’intersection C et D donneront les éléments de l’ellipsoïde d’équilibre.
En général, pour une valeur de A, il y a deux valeurs de l, l\ et Il y aura donc, pour chaque valeur de w, deux ellipsoïdes d’équilibre.
Si <C 0,224 .... il y a deux ellipsoïdes de Maclaurin.
