CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI
Si ~~j~ = 0,224 . . . , il n’y a qu 'un seul ellipsoïde limite.
Si 0,224. ... le problème n’a plus d* ellipsoïde de révo-
lution comme solution. S’il y a des figures d’équilibre, il faut les chercher dans d’autres formes. Autrement dit, l’ellipsoïde de Maclaurinne peut plus être une forme d’équilibre si la vitesse de rotation devient trop grande.
On peut se demander si les corps célestes, et en particulier la Terre, sont des ellipsoïdes de Maclaurin. On admet, d’ailleurs, que ce sont des ellipsoïdes de révolution.
Remarquons d’abord que, pour toutes les planètes, la racine L ne peut pas convenir. En effet, pour /> 2,53. , ., l’aplatissement est
et l’on sait que les aplatissements de la Terre et des planètes sont beaucoup plus petits. La racine /, seule peut donc convenir.
Calculons donc l{ dans le cas de la Terre. Prenons pour unité de temps la seconde sidérale et remplaçons f par sa valeur déjà trouvée (p. 41 )j on obtient
w2 / 2 iz \2 2 a qTi.zna 4 X 3 , 14 X 40000000
Après avoir calculé cette valeur, on la porte dans l’équation (55) et l’on prend la plus petite racine l. L’aplatissement correspondant
serait alors e — Ar* Cette valeur est certainement en désaccord
avec les observations géodésiques. L’aplatissement donné par Helmert en 1901 est ^ et celui donné par Hayford en 1909 est ^ • L’aplatissement trouvé est donc trop grand. Il faut en conclure
que si la Terre est un ellipsoïde de révolution, et si elle a été fluide autrefois, elle n’est pas homogène. On aies mêmes résultats pour les autres planètes.
Que se passe-t-il si co tend vers zéro? L’une des racines devient nulle, l’ellipsoïde se rapproche de la sphère; l’autre grandit indéfiniment.
Pour l très petit, (- est très voisin de o. Donc, pour l infiniment
petit, la figure d’équilibre se rapproche indéfiniment de la sphère, qui est d’ailleurs la figure d’équilibre d’une masse immobile.
Si l est très grand, c est très petit et a est très grand, d’après les équations ( 56) qui donnent
On a une figure d’équilibre qui est un ellipsoïde très aplati, une sorte de disque de très grand rayon et de très faible épaisseur centrale. Cette figure disparaîtrait pour w nul et l infini, car la limite serait un plan indéfini d’épaisseur nulle.
20. Ellipsoïdes de Jacobi. — Jacobi a réussi à démontrer que, parmi les figures d’équilibre possibles, se trouvent des ellipsoïdes à trois axes inégaux.
Les équations d’équilibre relatif par rapport à des axes entraînés dans le mouvement sont, dans ce cas, les suivantes. On a d’abord, pour le potentiel intérieur,
4 Ttp I H- V2 ’
La force d’attraction a pour projections
L’équation d’équilibre différentielle et intégrée sera
— = — P x dx — Qy dy — R s dz -h o)-(x dx dy), ?
£ =— i[(P — w2)^2+(Q — co2)y2+Rz2]+-C.
Les surfaces d’égale pression p — const. sont alors
(P — w2).cr24- (Q — o. )2)y2-f- Rz2 = G.
Ce sont des surfaces du second ordre, homothétiques et concentriques. Mais, sur la surface extérieure, la pression est constante
