CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

ou nulle. Il faut donc que la surface libre soit une surface d’égale pression. Ses axes, a, b , c seront donc proportionnels à ceux de la quadrique (58), d’où

(ô9) a*(P — co«) = 62(Q — co*) = c2R.

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes du problème. Gomme dans le cas précédent, formons l’expression qui donne w et l’expression indépendante de w; il vient

(60) w'2— — r— - - et

Or,

asp 6îQ = 2^/a6cp ~^=

J Vo vApO)

ï abc p ( éï2 — 62) /

XrfX

donc

(a24-X)(624-X) v/çÔT

w2 7 r™ x dx

— =é abc !

La seconde équation est homogène en P, Q, R; négligeons le facteur commun 2v:abcfp, on aura

c2(a2 — 62)1 dX

c2+ ^ J y/cp ( X )

c2+XJ v/^X)

Nous supposons a2 — 6‘2 différents de o, autrement on retomberait sur les ellipsoïdes de Maclaurin.

Ces deux équations se transforment de la façon suivante :

i° On prévoit que la première ne peut dépendre que du rapport des axes et non des axes eux-mêmes, puisque n’en dépend

pas. Posons X c-x , les limites restent o et 00, et il vient

oj2 7 c’*xdx

— 7-=abc / ■— — .

27vP J 0 (a2 -h c*x) (62-+- c}x) y/(a2 + c^x) (è2 h- c-x) (c- h- c'2x)

Enfin, en divisant numérateur et dénominateur par a3ù3, et

posant ~ = s, = on obtient

. „ . o/2 x dx

(61) —=st — ~ r-: )

2Jcy? JQ (i-hsx)(i-{-tx)£i

A = y/(i-h sx)( i -+- tx)( i -+- x).

2° Dans le deuxième, on pose de même X = c-x, et il vient

i i"l dx

-sx)(i-hlx) i-hxj A

(i — s — t)x — slx-

dx -

(I -s-t) — - SlJ

a?2 dx

Les équations (6i) et (62) déterminent 5 et ^ quand on se donne c*> (on verra plus loin le cas où l’on se donne le moment de rotation), et le problème se ramène à la résolution de ces deux équations transcendantes.

Ayant s et t , nous en déduirons les valeurs des axes au moyen des relations

c = a — b \/l et

(63) M = s,aboP=^?— = J*P ^ = 3*? TT

Remarque . — D’après l’équation (62), on voit que s-{-/ < En effet, 5 et £ étant positifs ainsi que les intégrales, on a 1 — s — t^> o. Alors s et t doivent être séparément plus petits que l’unité, c’est-à-dire

L’axe de rotation c est donc le petit axe. L’ellipsoïde tourne autour de son plus petit axe.

21. Discussion en prenant la vitesse de rotation et la densité comme paramètres. — On se donne w, il s’agit de déterminer 5 et t au moyen des équations (6i) et (62). On pourrait procéder autrement, se donner s et t , puis chercher la valeur correspondante