CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DF JACOBI

de co. On obtiendrait les mêmes résultats. On considère ici la densité du liquide comme invariable.

Tout revient donc à la discussion du système des deux équations. La discussion complète a été faite pour la première fois par Otto Meyer ( Journal de Mathématiques , t. XXIV). Elle est exposée par

Tisserand dans sa Mécanique céleste (t. II). On pose h =

et cette expression sera une fonction de s et de t , définie par (61). On désigne la valeur du premier membre de (62) par cL. Alors t pourra être regardé comme une fonction de s définie à son tour par la relation tL == o :

h = <p(s, t) = st I dn

x dx

(1 H- SX ) (1 -h tx)\ ’

o = 0 = (ï — 5 — OjT ^ r — stf^

x'2 dx

Nous allons démontrer que l’équation — o a toujours une racine et une seule en s pour chaque valeur de t, et que l’expression h a toujours une valeur et une seule pour chaque valeur de t ou de 5, avec un maximum pour s == t — tü. Il y a dans chaque cas un seul ellipsoïde de Jacobi comme figure d’équilibre.

Ges deux équations définissent une courbe de l’espace au moyen des trois variables A, 5 et t. Un point J de la courbe est à la cote h et a pour projection sur le plan des s, t un point R. Le point R est sur la courbe ^ ( s , t) = o qui est la projection, sur le plan des s , f, de la courbe de l’espace h == ©(s, t).

i° Etude de d/ (s, t). — Nous avons désigné le premier membre de ( 62 ) par ; nous allons voir que cette fonction de .9 et de t a une seule racine en s quand t est donné entre zéro et 1 . Posons avec Radau

s -h t — p et st = q,

d’où

dp = ds - h dt et dq = t ds s dt.

On aura, en désignant par A et Blés intégrales figurant dans

(63) 't = (1 />)A qB,

Le dénominateur A s’écrit

A2 = (i H- x) (i -I- sa 7) (i -h Ix) — (1 -+- x) (1 4- px -+- qx 2).

En prenant la dérivée partielle de par rapport à 5, on a

3 f**1 x-{i -h x) (1 + tx) Â5 '

- (1 — p — qx)dx~ — Ai —

Pour B’, on a la même expression multipliée par x, sous le signe J'. En combinant ces deux expressions, on obtient

t xA/ Tj 1 3 r* x°-(i-hx)(i-{-lx)

(i-p) ks-q B, = — -Jf -(

en posant

Ai==2j -( l—p — qx)dx

avec l’expression analogue pour B,. On a alors

ft = — (A + Aj) — (B + BO/ = — A0— B0/,

.-t- At = A 0 = f

x(i-hx)

a^5 (-2 -h 3 x—px — qxp-)

et l’expression analogue B + B, — B0.

Considérons maintenant l’expression suivante :

clx ^ = o as -(4H-3arH-y>a? — iqx'-— 3qx*).

On voit immédiatement que cette expression, intégrée de zéro à l’infini, est nulle aux deux limites. Nous désignerons cette intégrale nulle par C :

G = f ~ (4 H- 3 x -+■ p x — ‘iqx* — 3 q x* ) dx -

Formons alors l’expression suivante :

* * ^ 3 rx x-( i-+-x)-.

2Ao=2A0— G=- ) ^ (1 —p+qx-)c

comme on a j»<i, on a également A0>o. Cette valeur de A0

) dx ;