CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. 5<J

donne

On désigne par D l’intégrale qui est toujours positive. Nous pouvons écrire évidemment v|4 sous la forme

Gomme on a t <[ i , le second membre est toujours positif. On a donc <J/y < o. La fonction tp est toujours décroissante par rapport à s. Elle varie toujours dans le même sens et ne peut avoir qu’une racine quand s varie entre ses limites, la valeur de t étant supposée donnée et constante. Il en est de même par rapport à t , si l’on fait varier t ; on retrouveraitles mêmes expressions. L’équation (62), c’est-à-dire vp = o, ne peut avoir qu'une solution en s quand t est donné.

Dans tp faisons s = o et s = 1 , on obtient

La première expression est positive, la seconde négative, donc d; s’annule une fois et une seule avec s. Il en sera de même par rapport à t si s est donné. L’expression (62) aura donc toujours une racine et une seule en s pour chaque valeur de t et réciproquement. L’un des aplatissements étant déterminé, l’autre le sera également. Il n’y aura chaque fois qu’un ellipsoïde d’équilibre possible.

Si nous considérons maintenant s comme fonction de t , fonction définie par l’équation tp = o, on aura

(1 -f- xy- (1 + tx)-

x dx

d'h ds 0'lt

dt ds dt + ôt

comme

on a

s et t varient donc toujours en sens inverse. De plus, leurs valeurs

sont réciproques. Pour s — o on a t = i , et pour s — i on a t — o, et ainsi pour toutes les valeurs de s, puisque l’expression ^ est symétrique en s et t. A chaque couple de valeurs s{ et t , correspond un autre couple s = et t — S\ : ces deux couples définissent deux ellipsoïdes identiques, où l’on a simplement permuté les axes a et b .

Les deux valeurs de s et de t se croisent et deviennent égales pour une valeur intermédiaire que nous désignerons par t0. On aura donc

Les axes correspondants sont alors égaux et l’ellipsoïde est de révolution. Cette valeur t0 se détermine au moyen de l’équation (62), qui devient dans ce cas

30 x clx

50 x 2 dx

A = (1 -+- Iqx') y/ 1 -h x .

Construisons maintenant la courbe ^ (5, t) = o dans le plan sOt

Fig. 18.

(fig '. 18), en faisant les remarques suivantes : i° s el t sont essentiellement positifs ;

20 t) est symétrique par rapport à s et t] la courbe est

symétrique par rapport à la bissectrice OS de sO^;

3° Si ^ = o, on a t — 1 , car le coefficient de l’intégrale positive de — o se réduit à t — t — o, point B ;