CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. 6l
4° Si s augmente, t diminue et pour s = i on a de même t — o, point A. La courbe est même constamment au-dessous de la droite AB, puisque l’on a s -f- 1 <[ i ;
5° Enfin, étant donnée une valeur S\ de 5, comprise entre o et i , il y a toujours une valeur tx de t et une seule qui y correspond; autrement dit, PR, parallèle à OB, rencontre la courbe en un point R et en un seul.
Les coordonnées du point G situé sur la bissectrice sont celles données par la relation s = t — t0 — 0,3396, que nous calculerons tout à l’heure.
2° Elude de h = <p (s, t). — Nous considérons maintenait t comme défini par la relation f) = o. Nous avons, en tenant
compte des valeurs de ^ et , de dp et de dq ,
— d’b — — 6'. cls — <14 dt = A0 dp -f- B0 dq = o. Introduisons l’expression
r — ( s — ty — p 2 — 4 q-> 2 p dp — dr -h 4 dq ,
expression toujours positive, qui s’annule pour 5 = ^ — tQ et qui varie de o à 1. Nous pourrons considérer A comme fonction de ret de g, et q comme fonction de r définie par ^ — o. On a, en remplaçant dp par sa valeur en fonction de dr ,
— ip d']j = A0 dr -t- (4 Ap+ 2joB0) dq.
Si nous formons maintenant l’expression suivante, en introduisant G = o, on obtient
où B est une intégrale toujours positive, définie plus haut. On a alors pour d'\>
— 2.p d'b — A0 dr h- (3 — p)B dq = o.
Cette expression définit la variation de q par rapport à r , d’après (62). On a donc toujours car> ^0 et B étant positifs, on
doit avoir dr et dq de signes contraires.
Considérons maintenant l’expression (61), qui donne h en fonc-
tion de s et t ou en fonction de r et q. Nous allons démontrer qu’elle varie toujours dans le même sens avec r et qu’elle est maximum pour r — o, c’est-à-dire s = t = t0. On peut l’écrire
h = St J* xj±±fldx - q( A -H B),
où, d'après (62),
On a donc
dh = ( — dp -f- dq) A -b (1 — p -b q) ( A', ds -b dt).
Les valeurs trouvées plus haut pour A', et A, donnent immédiatement
A ., ds
( dp — i- x dq),
dh :
7 , , r" oc dx 3. . f'K x'2(i -h x) . ,
-- ( dp -b dq ) / -(1 —p + q) n ( dp -b x dq ).
Faisons apparaître le dénominateur A3 dans la première intégrale, remplaçons dp par sa valeur en fonction de dr , et tenons compte de l’expression C = o; on obtient finalement
— 4 p dh = 3 D {q dr — r dq ) — p B dq
ou
= 3?D — OrD-H^B) j?-
On a donc toujours ^ < o, puisque ~ < o.
D’autre part, l’expression de donne, si l’on y fait s = /.
— c/>ii == ( A0-b sB0) dp, car dq = s dp.
On aura donc à la fois, pour s = t ou r — o, dp = dq = dr — dh = o.
Ainsi, h varie toujours en sens inverse de r — (s — t )2 et dh s’annule pour r = o. Donc h croît pour s allant de 1 à t = t0, décroît pour s allant de t0 à o et est maximum pour s == t = tQ. D’ailleurs, en remplaçant dr par sa valeur en fonction de ds
