CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. yl
De la formule (56), qui donne le rayon équatorial a en fonction de l et de la masse M, tirons la valeur de a, la formule (55) donnant l en fonction de co deviendra
5o P2 /4rcp V + /2)arc tang 1 — 31
ou
Dans cette équation, le premier membre est donné ; nous le désignons par k et nous construisons la courbe k = <p(/).
Pour / = o, la courbe a la même allure que la courbe h précédente. Pour les grandes valeurs de /, au contraire, la valeur du
terme principal est /3, de sorte que A1 augmente indéfiniment avec t
sans passer par un maximum. D’ailleurs j tend vers zéro et la
courbe prend une allure parabolique pour l très grand, avec la concavité tournée vers 01.
Pour achever l’élude de cette courbe, on prend la dérivée
/\ dk di :
arc tang l -h 9
- arc tang l
Le dernier facteur s’annule pour 1= o et sa dérivée est toujours positive. Ge terme est donc toujours croissant et, par conséquent,
positif. 11 en est de même de la dérivée ^ et l’ordonnée de la
courbe k = cp(/) est constamment croissante.
On peut encore écrire
et pour l — o, on a
h — h'— o, d’où k' — o.
La courbe est tangente à l’axe l à l’origine.
Il est, dès lors, facile d’achever la discussion du problème. On se donne p et l’on en déduit k. A chaque valeur de k correspondra une valeur et une seule de /, un seul ellipsoïde d’équilibre. Il n’y a donc pas de position d’équilibre limite, mais il y a toujours un
ellipsoïde d’équilibre, quelles que soient les condilions initiales. Si k est très petit, on aura des formes très voisines de la sphère.
Pour la valeur llmite .de co dans la discussion précédente, où l’on avait /0— 2,53 et h0 = 0,224, on a ici k 0 — 3,4o. On obtient l’ellipsoïde E0, qui n’est plus un ellipsoïde limite mais un ellipsoïde quelconque, en considérant le moment de rotation comme paramètre.
Mais l’expression k se compose de deux quantités qui peuvent être considérées séparément comme variables : le moment de rotation p et la densité p . Si on laisse p constant, k représente la variation par rapport à p. Si on laisse p constant, k représente la variation par rapport à p.
Si nous considérons d’abord la densité comme constante et que l’on fasse croître progressivement le moment de rotation, en communiquant à l’ensemble une énergie extérieure, alors k croît indéfiniment. Le point figuratif s’éloigne indéfiniment sur la courbe. Par conséquent, l et l’aplatissement augmentent constamment. L’aplatissement augmente même de plus en plus vite, à cause de l’allure parabolique de la courbe. A partir de E0 le moment d’inertie l, qui résulte de cet aplatissement, augmente plus vite que le moment de rotation p = Ica, dont dépend la valeur de k. Alors c*> doit diminuer à partir de cet ellipsoïde E0, comme on l’a vu dans la première discussion.
Considérons au contraire la densité comme variable et le moment de rotation comme constant. C’est le cas de la nature où un astre se refroidit et se contracte, en conservant la même quantité de mouvement, celte contraction ne faisant intervenir que les forces intérieures. Au début, l’astre est très dilaté, p est très petit, k et / également. La masse est très peu aplatie. On voit que k et /, et par conséquent l’aplatissement, augmenteront indéfiniment avec p. Mais dans la contraction, la densité tend vers une limite, celle du corps à o° (température absolue), et la masse tendra vers une forme ellipsoïdale limite E*.
Remplaçons, dans la formule (67), l en fonction de s; comme dans la discussion précédente, on a
