CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAUR1N ET DE JACOBI. fi
La courbe est représentée en SEM^ (fig. 22). Les valeurs de k sont portées sur l’axe vertical. Pour s = 1 , on a k = o; c’est le
Fig. 22.
point S. Quand s décroît, k croît constamment et l’ordonnée de la courbe croît asymptotiquement à l’axe vertical.
Ellipsoïdes de Jacobi. — On a, dans ce cas,
Mc2 5 -i- t st ’
r M . Mc2 fi i\ Mc2
En exprimant c en fonction de s et t d’après (63), on obtient (68) 2 3C/P ~ 3/M3 \3M )
En représentant par l la même expression que ci-dessus, on a finalement les deux équations de conditions, où ^ (s, t) a la même valeur que précédemment, et qui déterminent s et t en fonction de / :
(sty
Ces équations (69) remplacent les équations (61') et (62') du numéro précédent'.
Discussion. — p. étant donné, k est donné. Combien y a-t-il de solutions répondant à une valeur de /?
Cette discussion est analogue à celle du numéro précédent. La fonction qui est indépendante de « et de p, reste la même. Elle détermine toujours une valeur et une seule de s pour chaque valeur de t. La courbe représentative, projection sur le plan 5O/ de la courbe de l’espace, reste la même.
Nous pouvons écrire la relation (69-) entre h et A, d’après les notations de Radau, sous la forme
on obtient
q '6 dk = 2 ph dp — | />2 ~ dq -h/)2 dh.
En remplaçant dp et dh par leurs valeurs obtenues dans la discussion précédente, il vient
1 dk r
9* = (A0-+- A)gr -+■ - <? B — - A0
dq
dr
Les termes A0, A, B sont positifs et l’on a démontré
dq j dk ^
— < o, donc ~r > o.
dr dr
dk a le signe contraire de dh. Ainsi k variera en sens inverse de h par rapport à r, et par conséquent par rapport à s et t.
On a, de même que dans la première discussion pour s — t = t0 et r — o,
dp = dq = dr — dh = dk = o.
La fonction k est donc toujours croissante avec /• = (s — £)2, et dk s’annule pour r — o. Donc k croît toujours pour s variant à partir de s = t — t0 vers o ou 1. Elle est minimum pour s — t — .
D’ailleurs, en remplaçant dr en fonction de ds et dt , on aurait
A est décroissant pour s<^tr croissant pour s > 5, et minimum pour s = t=t0. Il n’a qu’une valeur correspondant à chaque
