CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. jS
couple de valeurs de s et t. La valeur correspondant au minimum k.0 est
ko = 4^o * — — i , 53y .
Enfin, pour i = ooui = o, on a k = oo. La fonction croît indéfiniment avec
x dx
La courbe qui traduit cette variation est représentée figure 22. On construit d’abord la courbe plane <{> (s, Q = o, qui reste la même, puisque cette expression est indépendante de w, courbe ACB. Puis on construit la courbe A'EB' qui représente les variations de k en fonction de s et t . On étudie la variation de k quand R va de A en B. Nous remarquons d’abord que k est symétrique par rapport à s et t. Donc /:OS est un plan de symétrie.
En A on as — 1 et L= o, donc k est infini. La branche de courbe est asymptote à la parallèle à O k menée par A. Quand t
croît jusqu’à la valeur t — s = 0,33g, alors ~ reste constamment
négatif et k décroît constamment jusqu’à t == t0. Pour cette valeur, on a £ = £0= 1,587. Il y a> en général, une seule solution. Les deux points où le plan horizontal de cote k coupe la courbe gauche donnent deux ellipsoïdes identiques.
Si k >» 1,537, 1 ellipsoïde de Jacobi.
Si A* = 1,537, 1 ellipsoïde de Jacobi limite et de révolution.
Si A* <CT 1 5^37, plus d’ellipsoïde de Jacobi.
Le point E, est pour l’ensemble des ellipsoïdes de Jacobi, une position d’équilibre limite, mais par rapport à l’ensemble des ellipsoïdes d’équilibre, c’est une position de bifurcation.
Si l’on fait croître le moment^, ou la densité p, le point figuratif partant de S va suivre la courbe des ellipsoïdes de Maclaurin et remonter jusqu’en E. On voit comment le point E appartient aux deux séries linéaires d’ellipsoïdes et représente une figure d’équilibre de bifurcation. Ainsi donc, si l’on cherche les ellipsoïdes d’équilibre infiniment voisins de E et répondant à de petites variations de a), on trouve soit des ellipsoïdes de Maclaurin, soit des ellipsoïdes de Jacobi. Pour une valeur de p. ou de p, plus grande
que celle qui correspond à E, on aura deux figures ellipsoïdales d’équilibre possibles, l’une de révolution, l’autre à trois axes.
Il faut retenir de l’ensemble de cette discussion que si Von se donne le moment de rotation , il y a toujours une figure ellipsoïdale d’équilibre possible , ou deux au plus.
Ces résultats classiques ont été longtemps les seuls résultats connus. Gomme on l’a vu, Tait et Thomson ont bien donné quelques indications nouvelles, mais il faut arriver à Poincaré pour trouver de nouveaux résultats et de nouvelles figures d’équilibre.
23 bis. Discussion en considérant le moment de rotation comme constant et le grand axe comme variable. — Dans la discussion précédente, l’expression k contient le moment de rotation p et la densité p. Or, on doit faire varier p de o à l’infini pour obtenir tout le champ de la variation. Il serait plus intéressant d’avoir la variation du grand axe de l'ellipsoïde dans la contraction. Nous allons voir qu’il tend vers une valeur finie (A. Véron net, Comptes rendus , t. 169, p. 328, et Journal de Mathématiques , 1919).
Pour les maclaurins on a, d’après la formule (56),
/ 4 3cp\*f (l-hlïf
d’où, en substituant dans (67),
5° {JL2 , /-
rfWâ = \h'‘
— f— /“ — 4 yl-i-P
^(3 -h l- ) arc tang/ — 3 /
C’est cette expression g — \ h y/ 1 -b l- que nous allons considérer à la place de k.
Pour 1 = o, on a g — o comme h — o et pour l = 00, on a g=2Tz. En prenant la dérivée par rapport à l, on obtient
dl
■ il 1 / 9
l — arc tang l
Cette expression est toujours positive et g est toujours croissant de o à 27r, quand l croît de o à ce. En effet, pour / = o, l’expres-
sion entre crochets tend vers lh en négligeant V et sa dérivée
