CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

e 700 fois plus petit. Notre globe serait réduit à un disque 4 de rayon avec densité infinie.

, d’ailleurs,

\ p. = Ioj = - Ma2 co = const.

La vitesse de rotation varierait en raison inverse de a2. Elle serait 462000 fois plus grande qu’actuellement. Le disque ferait 5,35 tours par seconde.

On a pour l’attraction dans le plan équatorial, à la distance r où l’attraction est F (elle est proportionnelle à r comme la force centrifuge elle-même),

7 = 2 "/P (arc tang / - ) ,

et, d’ailleurs, on a

o>2 __ (3 ~h l2) arc tang£ — 3/

Le rapport de la force centrifuge à V attraction dans le plan équatorial est donc

w2 r __ (3 -h Z2) arc tang l — 3 l 2(1 — arctang/)

F ~ (1 -+- Z2) arc tang Z — l (1 -+- /2) arc tang/ — l

Le dernier terme est égal à 1 pour /== o, cas de la sphère. 11 est égal à o pour l — 00, cas du disque aplati. Il est toujours décroissant. La force centrifuge est donc toujours plus petite que l’attraction dans un ellipsoïde homogène de révolution en équilibre. [Il en est de même, d’ailleurs, pour un ellipsoïde hétérogène. Voir A. Véronnet, Rotation de V elliosoïde hétérogène et figure exacte de la Terre ( Jour 11 . de Math ., 1912, p. 378).]

Ainsi, la force centrifuge tend à équilibrer l’attraction à l’équateur à mesure que l’ellipsoïde s’aplatit. Il y aurait équilibre entre ces deux forces à la limite, quand on a un disque aplati. Les molécules, à la surface et à l’intérieur n’exercent plus aucune pression les unes sur les autres.

Pour les ellipsoïdes deJacobi à trois axes, on obtient de même

la formule suivante en remplaçant, dans k, p en fonction de a

oo p.2 ; s3 (s -h t)- h

On ne peut pas démontrer que cette expression, à partir de ,s0 =i0, est toujours décroissante comme h ou toujours croissante comme k. Les calculs numériques montrent que cette expression est d’abord décroissante, passe par un minimum, puis redevient croissante.

Elle tend logarithmiquement vers l'infini quand s tend vers o. En effet, dans l’expression de g faisons s = o et t = 1 , on a

__ (5 + i)2 x(i -+- x) dx __ C * x d x

g ~ sjt J 0 & ~Jo O-’-*)*’

expression qui donne immédiatement une valeur infinie pour g.

Gomme g augmente indéfiniment, le grand axe a, qui varie en raison inverse de g , tendra vers o. L’ellipsoïde de Jacobi ne tendra pas vers une figure limite. Il prendra la forme d’un ellipsoïde de plus en plus allongé, mais de dimensions indéfiniment décroissantes.

On peut obtenir de g une expression approchée pour s très petit. En faisant t = 1 et conservant s, on a

jC * x dx

Posons

- SX )2

d’où x —

On peut écrire, à un terme très petit en ^ près,

On obtient

\JsJq 1

dz =

T 1 -h Iz L 1— Iz