CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

La même transformation que ci-dessus donnerait

Mm 2 îc v i — e2 .

La loi de Répler donne ensuite

C’est une formule analogue à la précédente, où r est remplacé par a (i — e1).

Pour qu’il y ait dédoublement, il faut que la force centrifuge tende à égaler l’attraction avant que l’une des dimensions de la ligure d’équilibre devienne nulle. Dans les ellipsoïdes de Maclaurin, une seule dimension devient nulle à la limite pour le disque aplati. Dans les ellipsoïdes de Jacobi, les trois dimensions deviennent nulles quand la force centrifuge tend à égaler l’attraction. En bifurquant vers les Jacobi, on s’éloigne donc de la condition. Il semble qu’il faille chercher du côté des ellipsoïdes de bifurcation des Maclaurin, que nous étudions plus loin, dont le premier aboutirait à l’anneau de Plateau [A. Véronjnet, Variation du grand axe dans les figures ellipsoïdales d’ équilibre (. Journal de Mathématiques , 1919)].

Remarque . — On a supposé ici que la masse tourne tout d’une pièce, la vitesse de rotation co étant constante. Si l’on suppose au contraire que la vitesse de rotation n’est pas la même en tous les points, l’équation différentielle de la page 4b, qui traduit les conditions de l’équilibre hydrostatique, montre que le dernier terme c ù2 (x dx y dy) doit être une différentielle exacte, comme les deux autres. Pour que l’équilibre hydrostatique soit conservé, il faut alors que co soit uniquement fonction de la distance à l’axe de rotation. Elle est la même pour toutes les molécules situées à la même distance de l’axe. Les figures d équilibré ne peuvent plus être des ellipsoïdes, d’après la discussion du numéro suivant, où o32 serait une fonction de *r2-J -y2. Cette démonstration subsiste dans le cas d’une masse hétérogène (A. Vékonnet, Comptes rendus -, t. 183, 1926, p, 949)-