CALCULS ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
24. Choix d’unités de Poincaré. — Pour simplifier, Poiucaré fait dans ses Mémoires f — i elp = i. Il faut. étudier d’un peu plus près le choix d’unités auquel ces simplifications correspondent. Nous allons voir que cela revient à faire choix d’un système particulier d’unités où l’unité de longueur reste arbitraire et où l’unité de masse est fonction de l’unité de longueur.
Cherchons d’abord les dimensions de /. On a
mm'
mm
Faisons un changement d’unités en prenant une unité de longueur X fois plus petite, une unité de temps t fois plus petite, une unité de masse fi fois plus petite. Désignons par l’indice i les nouvelles valeurs des quantités considérées, on a (la force étant le produit d'une masse par une accélération)
mt= [im, = X r, Ft=F^*
Le nouveau coefficient d’attraction sera lié à l’ancien par la relation
Xu X2 r2 F r- X3 X3
t2 {jl 2 mm mm px2 ;jlt2
Prenons maintenant une unité de longueur arbitraire, une unité de masse constituée par le cube unité formé du liquide homogène considéré. On aura bien alors p=.i, puisque la masse de l’unité de volume est i . Il y a entre X et p une relation évidente dans ce
CHAP. IV. — FONCTIONS DIVERSES. CALCULS ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES. 87 cas. Si l’unité de longueur devient 1 fois plus petite, l’unité de masse devient fois plus petite, donc p = 2t3 et il vient
Prenons encore une unité de temps définie comme l’a fait M. Lippmann ( Comptes rendus , 8 mai 1899). Quand on prend pour unité de temps la seconde, on a f — • Avec les hypo-
thèses précédentes, en faisant maintenant un changement d’unité de temps, on trouve f — ~ • Pour que / devienne égal à 1 .
il suffit que z soit 386a fois plus petit ou que la nouvelle unité soit 3802 fois plus grande, c’est-à-dire égale à 3802® — ih4m 22% valeur très voisine de l’heure. Lippmann appelle cette nouvelle unité de temps Y heure naturelle. Elle est indépendante de la rotation de la Terre et de sa variation possible. Elle est aussi constante que la constante même de l’attraction et peut se déterminer par des expériences purement physiques.
Dans ce système d'unités, on aura pour les dimensions du moment d’inertie, du potentiel et de l’énergie, par rapport à l’unité de longueur qui reste seule arbitraire,
25. Équations fonctionnelles. — On a cherché, de diverses manières, à former des équations fonctionnelles pour le problème qui nous occupe.
Nous supposons p = 1 eif=i. La masse donnée tourne autour de O.*, les axes O x et O y sont entraînés dans la rotation. L’équation différentielle du problème et son intégrale sont
dp — cTV -{- ü)2(;r dx -h y dy), p — p0 .= Y h- o>2(x2 -t- jk2) -+- K;
p0 est la pression à la surface libre. Elle est constante ou nulle. Posons
p — Po= ?(#, y, z).
À l’intérieur du corps, puis à la surface, nous avons
Cette fonction 9(47, y, z ) peut être prolongée analytiquement à l’extérieur du volume. Il suffit pour cela de prolonger à l’extérieur la fonction V, qui représente le potentiel, en conservant la continuité de ses dérivées secondes. Mais il est évident alors que cette fonction prolongée ne représentera plus le potentiel à l’extérieur. Par exemple, le potentiel en un point intérieur de la sphère de rayon a est
Cette fonction reste parfaitement déterminée, même quand on suppose c’est ce que nous appelons le prolongement de la
fonction intérieure. Pour /•'>«, elle ne représentera plus le potentiel.
La fonction 9(3?, y, z) est définie partout et, à cause de la continuité, elle est négative à l’extérieur. L’équation
l’intégrale étant étendue à tout le domaine où 9 (a, 6, c ) est positif ou nul, est une équation fonctionnelle. Elle est assez compliquée, car la fonction 9 qu’elle détermine figure explicitement dans l’équation et entre de plus dans les limites d’intégration. La valeur de la constante K se détermine après coup, en écrivant que le volume est donné.
On peut, en employant un artifice du à Lejeune-Dirichlet ( Journal de Mathématiques , t. VI), trouver une nouvelle équation fonctionnelle, dans laquelle 9 figure explicitement sous les signes d’intégration, avec des limites d’intégration constantes.
On considère pour cela des intégrales définies qui dépendent d’un paramètre et qui jouissent de la propriété suivante. Soit
V = 2 7ca’2 — ^ 7ur2,
da db de
Si u^> o, on a I == 1 ; et si u < o, on a I = o. On peut en former par les procédés élémentaires, et, dans son Mémoire, Dirichlet en
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indique plusieurs formes. On a, par exemple,
. r~^dt=±
JC ^ t
suivant que u > o ou u < o. Pour former alors une intégrale telle que I(m), il suffit de prendre
i / sin ut sin£ \
dt.
Si «>o. les deux termes de l’intégrale sont égaux à tc et I(w) = i . Si u o, le premier terme est égal à — 1 et le second à -f- i ; on a I( u) = o.
L’inlroduction des intégrales de ce genre permet d’écrire, l’équation fonctionnelle précédente sous la forme
C C C C b, c ); t]dadbdcdl J J J J A'x~ «)2+(r — b)*-h(z — c)*
Les deux équations sont bien identiques, comme il est facile de le voir, en commençant l’intégration par rapport à t. C’est seulement pour le domaine où cp(a, b c)>o que l’intégrale n’est pas nulle.
Ainsi, la fonction c p figure explicitement sous le signe somme et les limites d’intégration sont devenues constantes. Néanmoins, l’équation fonctionnelle ainsi obtenue est encore très compliquée, même avec les formes les plus simples de f.
En écrivant ensuite <p(#, y, z) = o, on aura l’équation de la surface libre.
26. Équations intégro-différentielles. — On a aussi cherché dans une autre voie en essayant de former des équations où figurent le signe somme et les signes de différentiation. Pour arriver à ces équations, nous allons donner une expression remarquable du potentiel due à Gauss.
Soient a , 6, c l’élément attirant M et P(#, y, z) un point fixe
intérieur à la masse attirante ( fig . 26). Le potentiel en P est
da db de
xy H- (b —yY H- (c — zY
Fig. 26.
Considérons le vecteur dont les composantes sont
B = ib^ZZ,
Sa divergence est égale à en effet, on a
dA __ 1 (a — xY dA dB dG __ 3 1 1 1 1
da ~~ 2 r 2 r3 ’ da db de 2 r 2 r r
Comme P est intérieur à T, le vecteur A, B, C, n’est plus défini au point P lui-même, car sa grandeur et sa direction deviennent indéterminées. Entourons alors le point P d’une petite sphère de centre P. Soient t son volume et s sa surface. Appliquons maintenant Ja formule de Green au volume T — t compris entre S et s ; oq a
dB
db
<^)ch=f fs (A*H-Bp-I-C7)efo.
r r r <t=ff <2.
Considérons la dernière intégrale appliquée seulement à Ja sphère s. Soit r le rayon de cette sphère, soit diù l’élément de surface de la sphère de rayon 1 et de centre P qui correspond à da\ on a da — r 2 dio, et l’intégrale devient
r JJ [a(a — ' r) -h 0(6 —y) -t- y (c — z)] do).
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Elle tend vers zéro avec r, car l'élément différentiel reste fini. D’autre part, le premier membre de l’équation ci-dessus tend vers le potentiel V quand t tend vers zéro. On a donc
da.
On peut donner facilement une interprétation géométrique de la quantité placée sous le signe somme . En effet, a, (3, y sont les cosinus directeurs de la normale extérieure AN à l’élément da. Les valeurs 2 A, 2 B, 2 G sont les cosinus directeurs de la direction PM. En appelant rn l’angle de ces deux directions, on a donc
a(q — x)-h ,3(6— y)-hy(c — z)
cos (rn ) drr.
Supposons maintenant que la surface soit celle de notre fluide en équilibre relatif; l’équation de cette surface est
P —Pô = V -4- — (^2-+-jk2) -
-(^-hjr2) = C.
Prenons notre point P sur la surface libre, et remplaçons V par sa valeur trouvée ci-dessus; il vient
G’est là une équation fonctionnelle où entrent sous le signe somme la fonction inconnue et ses dérivées partielles du premier ordre, c’est-à-dire une équation intégro-différentielle. Prenons, par exemple, z = f(%, y) pour l’équation de la surface libre. On a c — /(a, b ), où /représente la même fonction. Les dérivées partielles de z par rapport à x et y, soient p et q1 figurent dans les expressions de a, (3, y et da. Mais on obtiendrait ainsi une équation qui ne serait pas symétrique. Pour rendre les calculs symétriques, exprimons les coordonnées de la surface au moyen de deux paramètres; on aura
a — f(\, {jl), b = [jl y e = <$>•()<, H*)-
En posant
db de db de de da da de da db db da
~~ dX d[ j. dp dX 1 dX dp dX dp ’ dX dp dX dp *
on aura
ch = y/P2-b Q2b- R2 dX dp,
[a(« — x ) H- p {b —y) -b y (c — 2)] d<i = [P (a — -b Q (6 — /) -b R(e — z)] dX dp r
d'où l'équation définitive
La constante sera déterminée par la condition que le volume est donné. On peut, dans cette formule, prendre x et y comme variables indépendantes, et z serait la fonction à déterminer. On peut aussi particulariser le problème en cherchant les surfaces de révolution qui sont solution de la question (Appell, Comptes rendus , ier semestre 1912). Cette méthode a été appliquée par M. Collet ( Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse ,
27. Formules différentielles qui se rattachent à la théorie du travail virtuel (Poincaré, Leçons sur les figures d' équilibre, p. 24). — Les forces qui agissent sur la masse du fluide sont :
i° Les forces d’attraction mutuelle de la forme — rnifik
ik
2° La force centrifuge, qui a pour composantes relativement aux axes mobiles mtfx, o;
3° La pression extérieure constante, qui exerce sur chaque élément de la surface libre une force p0 drr.
La condition d’équilibre est, d’après le principe du travail virtuel, que le travail des forces directement appliquées soit nul pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons.
a — x b — y c — z da db de
da db de
dp dp dp
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Les liaisons, dans le cas qui nous occupe, sont exprimées par ce fait que le liquide est homogène, incompressible, sans frottement. Les déplacements compatibles avec les liaisons laisseront donc le volume invariable.
Evaluons le travail des forces de pression. L’élément superficiel ab est venu en a'b'{fig . 27). Désignons par Ç la projection
Fig. 27.
sur la normale extérieure du déplacement g g du centre de gravité de da. Le travail élémentaire de ce déplacement virtuel est — p0Çda. Il faut le signe — parce que la pression est dirigée suivant la normale intérieure. On a
fée =2 £ — ~^ik ôr -h mto2(x 8.v -+- y oj) — de rj
Si W désigne l’énergie potenlielle, I le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation, il vient
D’autre part, l’expression IÇda est évidemment la variation de volume de la masse fluide dans le déplacement virtuel considéré, car Ç da est le volume du petit cylindre de base da et de hauteur Ç, c’est-à-dire H^da — <5T. On aura donc finalement
(80) ®» = S^W + ^I — jb0T^.
Telle est l’expression générale du travail virtuel total, pour un déplacement quelconque compatible ou non avec les liaisons.
Pour un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, ôT = o. Le travail dû aux pressions extérieures est nul et la condition
d’équilibre devient
(Ht) $^W-|h^l)=Q, SW — ai = O.
Cette condition revient à écrire que W -p- ^-1 est maximum ou
minimum. Or, nous savons que cette condition nécessaire n’est pas suffisante. Autrement dit, pour tout maximum ou minimum de celte fonction, on a une position d’équilibre; mais il pourrait y avoir d’autres positions d’équilibre qui ne correspondraient pas à un maximum ou à un minimum.
28. Calcul de quelques variations. — Calculons maintenant Y expression d'un certain nombre de variations , pour des déplacements virtuels quelconques.
On a d’abord, pour la variation du volume,
ST —Cl da.
ds
Pour la variation du moment d’inertie, considérons un déplacement virtuel quelconque, par exemple une dilatation qui amène la surface S en S' {Jig. 28). Le moment d’inertie total se compose
Fig. 28.
du moment d’inertie du corps S et du moment d’inertie de la couronne comprise entre S et S'. On a donc
(82) SI = f (#2 -h jk2X ds.
L’énergie comprendra, dans les mêmes conditions : l’énergie W de S, l’énergie W< de la couronne, l’énergie mutuelle de la couronne et de S. Si je désigne par V le potentiel dû au corps T,
