CHAP. IV. — FONCTIONS DIVERSES. CALCULS ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
par V, celui dû à la couronne, par l’élément de volume de la couronne, il vient
W + 8W = W + Wi+ J'vdn, 3W = W,+ jf VÇrfcr.
Mais il faut remarquer que est infiniment petit d’ordre supérieur à l’intégrale, car est l’énergie de la couche T, infiniment mince et a pour expression
w, = j f\A y ,'ç'rfp.
V4 est infiniment petit par rapport à V et l’on peut écrire
(83) 8W = f YÇdv.
29. Relations entre l’énergie, le moment d’inertie, le volume, la vitesse de rotation et la fonction des forces. — i° L’équation de l’équilibre relatif, qui est l’équation du problème, peut s’écrire en posant
(].V+“2(^ + /-2)j dp^dV.
Pour un déplacement virtuel absolument général, compatible ou non avec les liaisons, on a
8 (w -x~ == J VÇ da -f- ^ JK‘2)C da
= J ~ JV -fr Y (a?*-t->2)J K UÇafa.
Nous pouvons vérifier maintenant ce qui été dit dans le cas où l’équilibre relatif existe. Sur la surface libre, U est constant, puisque sa variation, égale à celle de la pression, est nulle. Donc, s’il j a équilibre, dans un déplacement virtuel quelconque, compatible ou non, on a
et, si le déplacement est compatible avec les liaisons dT = o, (8,5) r(w-f- ^ 1^ — o.
96 FIGURES d’équilibre d’une masse liquide en rotation.
Dans le cas d’un déplacement quelconque, on peut écrire
ST
Considérons maintenant un déplacement spécial, infiniment petit, qui laisse tous les éléments homothétiques. Toutes les dimensions linéaires sont alors multipliées par i +e, où e est infiniment petit. Les formules de dimensions établies dans le cas p = i et f i nous donnent
W -h ÔW = W(i -h £>■ = W -+- 5 £ W, I -4- SI = I -h 5 el, ST = 3eT. On a donc
6 W £ h- - co2 1 £
Cette relation remarquable entre W, l, T, U0 est due à Poincaré.
20 On a AU = 2w- — à l’intérieur du corps. S’il n’y a pas de pression extérieure, co2 ne peut pas dépasser 271, comme l’a démontré Poincaré, et, si la surface est convexe, ne peut dépasser 7T, d’après Crudeli. Mais, avec une pression extérieure, o>2 peut devenir supérieur à 2 7r; on peut donc distinguer trois cas :
i° 2co2 — \ Ti < o, AU est négatif; à l’intérieur U > U0, il ne peut pas y avoir de minimum de U, mais seulement un maximum.
2° 2w2 — >0, U < U0 à l’intérieur ; il y a un minimum de U.
3° 2to2 — 4 71 = o, U = U0 sur la surface et AU = o à l’intérieur, donc partout.
Prenons l’intégrale suivante étendue au volume T. On a, d’après (28) et (79),
