CO

U > Uo,

sW+ ~ I > U„T

ïW + - I<U„T

Or, d’après (87), le premier cas devient

g ij = 2W + “I OU Iü)2= W.

L’ensemble des trois cas peut alors se résumer dans le tableau suivant :

o)- = 2 7:, oj2<<2 n, co2>>2x;

l(02=\y/ Io)2<W, Io)2> w.

30. Figures annulaires. — Poincaré a déduit de ces relations une conséquence remarquable, c’est que, pour des valeurs suffisamment grandes de co, s’il y a encore des figures d’équilibre, l’axe de rotation ne rencontre plus le fluide. Il peut alors se faire que certaines surfaces d’équilibre soient des surfaces annulaires. On peut d’ailleurs faire croître co autant que l’on veut, à condition d’ajouter une pression extérieure constante suffisamment grande.

Nous faisons donc l’hypothèse suivante. Nous partons d’une certaine valeur de co pour laquelle il existe une figure d’équilibre, et nous faisons croître co. La figure d’équilibre se modifie, se déforme sans cesser d’exister, par hypothèse. A chaque valeur de co correspondent alors certaines valeurs de W, I, U0. Le volume T reste constant. A un accroissement 5co correspondront les accroissements 5W, 51, 5U0. La relation ci-dessus (87) donne alors

oW 4- — SI + toi Soi = tT8U0.

Mais, de plus, cette variation, qui laisse invariable le volume, est compatible avec les liaisons; et, en tenant compte du théorème du travail virtuel (81), il reste

(88) toi Sco = |t8U0.

ÀPPELL. — IV

Divisons membre à membre cette relation et la relation (87), il vient

W+itoU

2 IJo

colôco oU0

ou

wïï

Uo 8oj co 0U0

Si est positif, ôU0 le sera aussi. Si donc on fait croître co et que la figure d’équilibre continue d’exister, il arrivera un moment où l’on aura co2> 271, et par conséquent co2I >> W, d’où

La formule ci-dessus deviendra donc

U0 ^3 • co o U 0 2

oU0 2 ôco Tv^ 3 w"’

Cette inégalité a lieu à partir d’une certaine valeur de go. En intégrant à partir de cette valeur, on aura