FONCTIONS SPHÉRIQUES

Nous venons d’étudier les théorèmes généraux donnés par Poincaré et nous en arrivons aux questions particulières qu’il a étudiées dans le Tome 7 des Acta mathematica. La méthode de Poincaré repose sur l’étude des fonctions sphériques et des fonctions de Lamé, dont nous allons examiner les principales propriétés.

31. Expression de AV dans un changement de variables. — Cherchons d’abord ce que devient l’expression de Laplace AV, quand on fait un changement de variables défini par

* =/(5> '0; 0> y =/i(l, ri, 0> * O,

où E, Yî, Ç sont trois nombres qui définissent les nouvelles coordonnées du point. On peut aussi dire que x, y) z est le point d’intersection des trois surfaces

Ç = const., yi == const., Ç = const.-

Nous supposons que ces trois surfaces sont orthogonales. La valeur de l’élément linéaire devient

(90) cls- = dx'1- h dy*1 -h dz 2 = a2 d^-h (32 drf y2 dl '2.

Considérons le point M défini par yj, Ç et les trois points voisins {fi g. 29)

Mi(£ H- r\, Ç), M2(|, Tj -h c/t,, Ç), M3(-£, ï), Ç H- c/Ç)*

On aura alors

MM1=a4 MM2=ri^rt, MM3 = y^;

Les surfaces étant orthogonales, ces côtés sont perpendiculaires. Appliquons à ce parallélépipède élémentaire la formule de Green

Fig. 29.

dy\

dl/

(formule 1) pour le cas où la fonction considérée dérive d’un potentiel

Le premier membre se réduit à

AV at3y d\ d(\ d'Ç.

Dans le second, la dérivée suivant la normale extérieure se compose de six termes relatifs à chacune des faces. Considérons la face MM2M3 et la face opposée. Pour la face MM2M3 on a

d'j == (3y dr{ d'Ç,

d\ Vm-Vm

dn MMj

àY a à £

Le flux à travers cette face est donc

àY

Pour la face opposée, le flux est de signe contraire, la normale extérieure étant de sens contraire, et sa valeur est augmentée de la variation du flux quand on passe deMenM,. Ce flux est donc

S? pT dr> dK + i [ S pY dr‘ dK]dl

Le flux résultant à travers les deux faces opposées sera (< dr) , dÇ étant constants)

En ajoutant les expressions analogues pour les autres faces et