CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHÉRIQUES
IOI
divisant les deux membres par d dr\, dÇ, il vient finalement
Cette formule permet de calculer AV pour un système de coordonnées orthogonales quelconques.
32. Définition des fonctions sphériques. — Les fonctions sphériques ont été introduites par Laplace. On les appelle aussi fonctions de Laplace. Ce sont les valeurs des polynômes harmoniques et homogènes, prises aux différents points d’une sphère.
Nous étudions d’abord les polynômes harmoniques homogènes. Ce sont des polynômes Pn(æ, y, z), homogènes de degré n , qui vérifient l'équation de Laplace AV = o. Nous aurons donc par définition
AP
cr- p/t
àx-
à2P n 02Pn
dy2 dz 2
= o et
P n(kx, ky , kz) = kn Pn(x,y, z).
Combien y a-t-il de ces polynômes d’un même degré qui soient linéairement indépendants ?
Dans Pn(x, y, z) entrent + coefficients arbitraires.
De plus APn est un polynôme homogène de degré n — 2. Il contient donc - 1 ^ - coefficients arbitraires. Pour que l’on ait identiquement APn= o, il faut que tous les coefficients de AP7i soient nuis, ce qui établit — — relations entre les (n 71 -Tl-?.} coef-
ficients de P„. Il reste donc
coefficients arbitraires qui figurent dans P,t d’une façon linéaire et homogène. On a, par exemple,
avec un seul coefficient arbitraire;
P4 = Ax -+- By -h C z, n — 1,
avec trois coefficients arbitraires;
P 2 — A (a?2 — y 2) -h B(#2 — z2) 4- C yz H- D zx -h Exy, n = 2,
avec cinq coefficients.
Le polynôme harmonique le plus général pourra s’écrire
Les X sont des constantes arbitraires et les Pnj* sont des polynômes harmoniques spéciaux également de degré n.
Ces polynômes étant formés, il est évident que si l’on fait un changement d’axes , sans changer l’origine, ils restent encore homogènes et harmoniques. Passons, maintenant, des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires , définies comme il suit.
De l’origine comme centre traçons une sphère de rayon 1. Au point M(#, y, z) faisons correspondre le point Mi de cette sphère situé sur OM. M aura pour coordonnées OM = r et les coordonnées sphériques de c’est-à-dire la colatitude 9 = POM et la longitude <p = #0 m, où m est la projection de M. On aura tous les points de la sphère en faisant varier 9 de o à 71 et cp de o à 271 ( fig. 3o). On a
x — r sinô cos?, y = r sin 0 sin o, ^ = rcos6.
Fig. 3o.
Portons ces valeurs de x, y , z dans le polynôme P/? ; comme il est homogène on aura
P,t(a?, y, z) = rn P„(sin0 cos 9, sinO sin®, cos0).
Ce sont ces fonctions P„ en 9 et <p qui constituent les fonctions sphériques de Laplace. On peut dire que la fonction sphérique est la valeur que prend sur la sphère de rayon 1 le polynôme harmo-
