CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHÉRIQUES

nique. On la désigne ordinairement par Y„ ; on a donc

(93) Pw(^j, JKij Z\) = P«(sinô cos 9, sinO sincp, c sO) = Yn(0, 9)

ou encore

Vn(æ,r,z) =:rn Y„(0, 9), P„ = r»Yi

Le polynôme P7l contient 2 n -h 1 coefficients arbitraires. Il en est de même de Y/t, qui est alors la fonction de Laplace la plus générale de degré n. On peut l’écrire

(94) 9) = ^«,lY7l)i(0, 9)-h Xn>2 Y7j}2(0, 9)-f-....-f-X„)2/i+l \ «,2«+t(0j ?)•

Les fonctions Yn^ sont linéairement indépendantes. Au fond, les coordonnées 0 et 9 ne sont qu’apparentes, puisqu’en faisant tourner les axes d’une façon quelconque, la valeur des polynômes harmoniques sur la sphère reste invariable, en chaque point de la sphère.

33. Formation des fonctions sphériques. — Nous allons maintenant former ces fonctions sphériques. Il suffit pour cela de transformer l’équation de Laplace AV — o, en y introduisant les coordonnées polaires, définies ci-dessus. On a alors

d’où

ds- = dr*~ f- r 2 <i02-b r2 sin20 dy2,

a — i, [3 = r, Y=rsin0.

Il en résulte immédiatement l’expression de AV