AV

2 sin 0

dV

d / . dV \ à ( 1 dV\l

d0 VmÔ d0 / + d® \ sinO d9 / J

d2V 2 dV 1 d / . dV\ 1 d2V de2 ;• r)r ' r- sin0 dO \ m dO / r 2 sin20 d92

Au lieu de conserver l’angle 0 comme variable, on peut introduire

aussi la variable t définie par

(q5) Z = cosO.

On a alors

x ~ r sJ 1 — l 2 cos 9,

rt ;

t varie de — 1 à -t- 1 . On a encore — sin0 dQ == dt et il vient

dr2

2 dV r âr

1 à L y),dV] 1

Nous allons former maintenant une équation célèbre que vérifient les fonctions sphériques. Posons

et portons cette expression dans l’équation AV = o, il vie

,v 1 à ( . r.dXn\ 1 d2Y„ n -+- 1 ) Y;i -4- — — 7, -jô ( sin 0 ] -h . ■ A --r- — = o

sinO àd \ ào J sin20 d®2

ou, avec la variable t ,

:[<■->£]-■ né*

à-Yn

Ces équations définissent les fonctions Y/t, assujetties en plus à être des polynômes homogènes de degré zi, en sin0 coscp, sin0 sin 9, cos(9, ou en y/ 1 — t2 coscp, y 1 — t 2 sin<p, f.

Nous savons qu’il y a 2/i-Hi de ces polynômes linéairement indépendants et nous allons les déterminer sous une forme partilière.

On peut écrire

x = r sin 0

y = r sin 0 — = r y/ ï — * 2 -

^ = r cos 0

En ordonnant le polynôme Y„ par rapport aux puissances de e*?, on pourra l’écrire

p=zn

(98) Yn= 2 eip^pn (p=—n... o...H-n).

XJ dépend uniquement de 0 ou de Les exposants de sin 9 dans XJ sont de même parité que l’indice supérieur p , de sorte que si y? est pair XJ est un polynôme en si p est impair XJ contient sJ 1 — t 2 en facteur.

Portons cette expression de Y„ dans l’équation (97') en t . L’équation devient, en faisant porter la sommation par rapport à p sur tout le premier membre,