X-p= kX

Chaque fonction XJ n’est déterminée qu’à un coefficient arbitraire près.

En faisant p = o, dans cette équation on a la fonction XJ. En donnant à p les valeurs de 1 à n on a les fonctions

ei(?X}n . etPVXft, .... dfn?-X{J,

puis de — 1 à — n les fonctions

<r-*PXL . .., ë-iPVXftj .... e-in9X%.

On a bien ainsi 2n -h 1 fonctions linéairement indépendantes. En les additionnant et retranchant, pour faire disparaître les imaginaires, on peut aussi les écrire

Xjfi X^costp, X^cos/?cp, ..., X^cos/i©.

(100) X^sincp, . .., X^ sin/?cp, ..., X™sin/iç>.

Pour les déterminer complètement, il n’y a plus qu’à chercher les solutions de l’équation linéaire du deuxième ordre à laquelle les XJ doivent satisfaire.

34. Étude du polynôme de Legendre. — Etudions d’abord la première équation, celle qui correspond & p = o. La solution XJ est bien connue. C’est ce qu’on appelle un polynôme de Legendre . Cette solution constitue, comme nous le verrons, la fonction sphè-

rique fondamentale. On a, en écrivant simplement X„ pour XJ, (i°0 ~ [(I — <2)^2] + »0 + l)X„=0,

dont la solution est

dn ( t- i)n Xn “ k dln

Posons, en effet,

u = k{t2 — i)n, — = iknt(V-— i)»-*, (Z2 — 1)~^ — *inlu.

Dérivons /i-J-i fois les deux membres de cette dernière équation, d’après la règle connue, on a

/JO \ dn+2u dn+i u 2«(/i + i) dnu

v ’ dln+- v ’ dln +1 i

dln

dn+i u . . dnu

= •2nt—J — — + 2n(/i + i) —, — 5 K ’ dtn

et comme Xn =

dn u ,

on a, en remplaçant

0 1^~~dt2 2 t^n + ^ ~dl n(n ~f’ I^n

'= 2 7lt ■ -+- 2 7î(^7l — 1— i) X„,

V d'" C^Xll , -v <rr

0! 1^~dF~~}~‘lt «(« + i)X„=o.

Cette équation est bien identique à la proposée, car elle peut s’écrire

— 0^] — n(n-hi)Xn= O.

On donne pratiquement à k une valeur particulière, et l’on désigne sous le nom de polynôme de Legendre l’expression

Xre =

i dn(l2 — 1)« 2 n.n\ dt*

Nous avons ainsi la première des in-^- i fonctions de Laplace. Pour achever l’analyse de Poincaré, nous allons montrer que les polynômes XJ s’expriment tous en fonction du polynôme de Legendre.