CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHÉRIQUES

35. Détermination des X^. — Nous remarquerons d’abord que si un polynôme est harmonique, il le reste dans un changement d’axes quelconque.

En prenant pour pôle le point P où l’axe des z rencontre la sphère de rayon i, nous avons obtenu la fonction X®, qui estfonction de la distance polaire 9.

Prenons maintenant un système de coordonnées polaires dontle pôle est P' ( 9' et 9' sont les coordonnées de P' dans le système de pôle P) {fig. 3i).

La distance polaire dans le nouveau système est y — P'M et l’on a

cos y = cos 0 cos 0/-f- sin0 sinO' cos(cp — cp').

Dans ce système la fonction X®, considérée comme fonction de y,

Fig. 3i.

est une fonction sphérique. C’est le polynôme de Legendre relatif au nouveau système d’axes. Si nous revenons maintenant du pôle P' au pôle P, la fonction X® (cos y) reste encore une fonction sphérique et son expression en 9 et cp devient

X^fcosO cos0'h- sin0 sin0' cos(cp — 9')],

où 9 et 9 sont les variables et 9' , 9' sont deux paramètres qui peuvent prendre des valeurs quelconques.

Introduisons maintenant les exponentielles imaginaires et écrivons l’expression sous une nouvelle forme :

C® ( co

gicp-i© e/<p+z<p'\

Posons, avec Poincaré,

sin 0' ei(9‘

sin0' e~icP'

\ etyj sont arbitraires comme le sont d' et cp', et alors X°(cosy) devient, en remplaçant cos0 par t et en remarquant que

sin20' = — hl'rn cos20'= i -h 4^, x,°, [t v/r+Tfn + \/ï2 — 1(5 e“t+ r,

Cette expression est une fonction sphérique quels que soient £et yj. C’est-à-dire que l’équation différentielle que vérifie Y„ sera vérifiée par ce polynôme en t et cp, quelles que soient les valeurs des paramètres \ et in.

Faisons d’abord yj — o. Il reste le polynôme

qui vérifie, quel que soit £, l’équation différentielle des fonctions sphériques. Développons cette expression par la formule de Taylor, nous aurons un développement limité, puisque X® est un polynôme. L’expression considérée est de la forme h) et l’on a

\Jv—i)

\p elP ?

dPX%

dtP

Puisque cette expression est une fonction sphérique, quel que soit £, chacun des termes de ce développement, coefficient de \p , est lui-même une fonction sphérique. Nous trouvons ainsi les n -f- i fonctions sphériques suivantes :

- dX%

[ dt i

, dPX « .

v ’ dtP ’

Mais si l’on change cp en — cp on aura encore des fonctions sphériques, parce que l’équation différentielle en Yn (gy) ne change pas quand on y change cp en — cp. Nous aurons ainsi les n nouvelles fonctions sphériques

~dX « dt

(t2—iÿ

p-dPX"

dtP

dtn

e~in(?.