CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHÉRIQUES

En ajoutant et retranchant deux à deux, on obtient

^dPXft

-o,-ærc°v?.

dtp

sin py,

Nous retrouvons ainsi le tableau déjà formé (100) des 2/1-f- 1 fonctions sphériques d’ordre n, linéairement indépendantes, mais de plus nous obtenons ici l’expression de XJ’

(io3)

JdPX%

dtP

Tous les polynômes XJ sont donc exprimés en fonction de XJ. Si p est pair XJ est un polynôme en t , si p est impair XJ est le produit par y/ 1 — t'2 d’un polynôme en t.

On adopte pour k une certaine valeur pratique et l’on pose finalement

I / /9 P- dp X®

\)..\n-^py dtP ’

ou, en remplaçant XJ par son expression,

XP =

(t°-—iy

\ l dn+P(t% — i)n

En donnant kp les valeurs 1, 2, . . ., 77, nous obtiendrons les n polynômes XJ. Le polynôme XJ a toutes ses racines réelles etcomprises entre — 1 et -f- 1 . Le polynôme XJ admet les racines t= 1 et t — — 1 et toutes ses autres racines sont réelles et comprises entre — 1 et -f- 1 .

36. Fonctions zonales, sectoriales, tessérales. — Les géomètres anglais ont introduit, dans l’étude de ces polynômes, une terminologie et une représentation qu’il est utile de connaître.

i° Le polynôme XJ(t) étant égalé à o, on a une équation dont toutes les racines sont réelles et comprises entre — 1 et -j- 1 . Soit t — t\ l’une de ces racines. Sur la sphère de rayon 1, l’ensemble des points pour lesquels on a cos9= t\ est un petit cercle de pôle P et l’on peut dire qu’une racine de Xn représente ce

IIO FIGURES d’équilibre d’une masse liquide en rotation. cercle. Toutes les racines de qui est d’ordre n déterminent donc n petits cercles de la sphère. Les fonctions X® ont été dénommées pour cela fonctions zonales.

2° Les fonctions sphériques X" (^)cos ny et X“ (t) sin/io étant égalées à o, étudions de même leurs racines. XJJ(^) est une constante et les équations considérées se réduisent à

C(r2 — i)2 cos ix y =. o ; C'(^2 — i)" sin/io = o;

t = db. i représentent les pôles P et P<. Les n valeurs de <p qui annulent cosncp, ou sinwo, représentent n méridiens équidistants. Les zéros des deux fonctions considérées représentent donc, sur la sphère de rayon i, des méridiens, et ces deux fonctions ont été appelées sectoriales.

3° En donnant à p des valeurs comprises entre o et ti, on obtient encore 2 n — 2 fonctions qui, égalées à zéro, fournissent 2 n — 2 équations. Les zéros de ces équations représentent à la fois des méridiens et des parallèles. Ces fonctions ont été appelées : fonctions tessérales.

En résumé, les 2/i-f- 1 fonctions sphériques d’ordre n peuvent se décomposer à ce point de vue en 1 fonction zonale, 2 fonctions sectoriales et 2 n — 2 fonctions tessérales.

37. Recherche des solutions de la forme f(Q) g (<p). — Nous allons, en résumant l’étude des fonctions sphériques, présenter ces résultats de façon à préparer l’étude des fonctions de Lamé.

i° Nous avons d’abord cherché les polynômes homogènes et harmoniques de degré n. Il y a 2 n H- 1 polynômes linéairement indépendants, qui satisfont à l’équation AP„ = o et le polynôme le plus général qui satisfait à cette équation peut s’écrire

2° Nous avons ensuite exprimé ces polynômes en coordonnées polaires et nous avons écrit dans ce système de coordonnées l’équation de Laplace, en y faisant