CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHÉRIQUES

Nous avons cherché la solution de l’équation de Laplace ainsi transformée. Le fait remarquable est que l’équation AP„ = o admet une solution de la forme

où /(0) est un poljnome en sin 9 etcosÆ, et^-(cp) est un polynôme en sincp et coscp.

Il y a 2n -j- i solutions de cette forme.

Tels sont les résultats de l’analyse qu’on vient d’exposer. Mais on pourrait faire également la théorie des fonctions sphériques en cherchant les solutions de l’équation APn = o, qui sont de la forme (106).

Posons d’abord Pn= /•« Yn; on a trouvé, pour Y,j, la relation(97').

Posons ensuite

Yn(6, ç)=/(0)*(?) OU Y „(*, cp )=/(*)*(?).

En substituant cette deuxième expression dans l’équation différentielle (97'), elle devient

»(» + i)/(0 *(?) + <r(?) ^ [(!-<*)/'(«)] + tz^CO/CO = ».

Les variables se séparent immédiatement sous la forme

Mais f et 9 sont indépendants. La relation précédente ne peut donc avoir lieu que si les deux membres sont constants. Nous avons alors, pour déterminer ^-(cp), l’équation

Mais, de plus, g (y) est un polynôme en coscp et sin 9 ou en e*l. On peut l’écrire

= 2 ap C0s/?cp 4- bp sin/> 9.

Chaque terme de la dérivée seconde reproduira le terme correspondant de g( 9) multiplié par — /?2 et l’équation à laquelle satis-

fait g’ (9) devient

*) c°sp<? H- A:) sifijoo] = o.

Je dis que k = — p2. En effet, pour que cette équation ait lieu quel que soit 9, il faut que tous les termes ap{p2-\-k ) et bp(p 2 -f- k) soient nuis et, si k est différent de — p2, tous les ap et tous les bp sont nuis. Quand, au contraire, p2 k = o, alors ap et bp ne sont pas tous nuis. Le polynôme cherché £'(9) se réduit donc à

g (y) = a j, cos/?.o -f- bp sin/?9.

Nous avons ainsi k et ^(9). Reste l’équation qui définit t. Elle admet comme solution un polynôme ou bien le produit d’un polynôme par 1 — t 2. On trouve ainsi la solution

(107) ^Pn{ap COSjDO -h bp sinp?)

et la fonction Yn , la plus générale, sera

(108) Y, * = ^ {ap cos p o bp sin/>ç)X^,

où les coefficients ap et bp sont arbitraires. Il y a donc 2/i-f- 1 coefficients arbitraires.

38. Propriétés intégrales des fonctions sphériques. — ^Considérons deux fonctions sphériques d’indices n et n' différents :

Y„(0, 9) et Yn/(0, 9), on a

(109) - sinô dO do == o ou J J' Y7lYn> dn = o.

Les limites de l’intégration sont pour 9 de o à tt, pour 9 de o à 2 7r ; dans la deuxième formule de est l’élément superficiel de la sphère. Si l’oh pose

cosO = t, — sinO dû = dt,

dt I Y„ Y7i' do = o.

on a