CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHÉRIQUES. Il

Cette proposition se démontre immédiatement par application du théorème de Green (formule 5, Chap. II).

Prenons une sphère de rayon r quelconque et de centre O. Considérons deux polynômes harmoniques et P,4. On a

//X(p''ap'‘-ivap'-)^=/X(

p ffü*

11 dne 11 dn,

Le premier membre est nul puisque AP„ = o et APn,= o. En passant aux coordonnées polaires, Pn devient rnYn(9, <p) et P,,/ devient rn'Yn>(9, cp). Les dérivées, suivant la normale, sont

dPn — nrn~ iY

dne ~ àr

dPn’ dPn

■= ri rn'~ 1 Y n>.

drie àr

En substituant alors dans l’égalité précédente, il vient

q — n'^rn-bn'-i- 1 SJ. YnYn> sinô c/0 d®.

Si ri , l’intégrale double est nulle comme on l’avait annoncé.

2° Si l’on prend deux fonctions sphériques de même indice, et si l’on calcule l’intégrale analogue à (109), que va-t-il se passer? Nous avons 271 + 1 fonctions sphériques indépendantes d’ordre n en XJcosyjcp etXJsinpcp. Si l’on prend deux fonctions qui diffèrent, soit par l’indice y?, soit par le changement de sin en cos, on a encore une intégrale nulle.

En effet, prenons par exemple XJ cos y? 9 et XJ cosy/cp, on a

f sin 0 diï XftX/J / cosp cp cosp' o dy — o,

parce que si p ^ p’ la seconde intégrale est nulle.

Prenons XJ cosyicp et XJ sinyxp. On a

J* cosy?cp siny? cp «?© — o et J' J' (X+? cosy?cp sinpcpsinO c/0 do — o.

La seule intégrale non nulle sera donc

ln= f Y Id^s.

APPELL. — IY.

En effet, dans Ift il y a le ternie

2 T. (tt!)'2

Le terme ( — i )p provient de ce que dans l'expression de XJ entre

le terme ( t 2 — i)L>. On a le même résultat pour XJ sin/xp.

39. Développement d’une fonction de deux variables en série de fonctions de Laplace. — Ces relations sont extrêmement importantes dans un problème déjà traité par Laplace. Voici comment le problème se pose.

Quand on a une fonction /(cp), on peut, sous certaines conditions, développer cette fonction en série trigonométrique (série de Fourier), sous la forme

On a ainsi une fonction de la position d’un point sur une circonférence.

De même, donnons-nous une fonction de deux angles /(0, 9) définie pour des valeurs de B variant de o à tt et des valeurs de 9 variant de o à 27:. On peut dire que /est une fonction de la position d’un point sur une sphère, car à toute position de M correspond une valeur de B et une valeur de 9. Inversement, à tout couple de valeurs 0, 9, correspond un point de la sphère.

Sous certaines conditions, on peut développer la fonction /en une série de fonctions de Yn et écrire

Laplace a, le premier, indiqué ce développement; mais la première démonstration de sa légitimité est due à Lejeune-Dirichlet ( Journal de Crelle , 1887) qui faisait certaines hypothèses sur /, en prenant le cas simple où / est supposé continu. Bonnet, puis

f( 9) = «0 + «i cos 9 + 61 sin 9

/( 6, 9>= Yo + Y1 + ...+ Vn(0, 9) +. . . ,

où

Y„( 0, 9) •+- Bftsm/?9)X£.