FONCTIONS SPHÉRIQUES

Dini, ont donné des développements valables dans des cas plus étendus, quand f admet sur la sphère un nombre fini de discontinuités. Enfin, M. Darboux a étudié le cas où la fonction devient infinie sur la sphère en un nombre fini de points.

La détermination des coefficients, dans le cas où la fonction est finie et continue partout, n’offre pas de difficultés. Nous allons voir que, le développement étant admis, il n’existe qu’tm seul développement, autrement dit que les coefficients A pn et B£ sont déterminés complètement.

En effet, supposons que f(d, cp) admette un développement en fonctions sphériques et puisse s’écrire

? ç) = Yo+h + ....+ Yn(0, 9 ) -+- - - . -

Pour avoir l’expression du coefficient multiplions les deux membres de l’égalité précédente par X^cos^ocp, on a

/( 0, 9 ) X£ cosp cp = XP cos/> 9 (Yp-Ya + Yn + ...),

puis

(i ï2 ) J' J* /(0, 9)X^ cos/? 9 sin0 dd c/9 = AftI/h

On obtiendra de même B^.

Il faudrait montrer, ensuite, que le développement est convergent et qu’il représente bien la fonction donnée : ces propriétés sont démontrées dans les Traités d’Analyse.

40. Problème de Dirichlet pour la sphère. — i° Prenons pour unité le rayon de la sphère, et donnons-nous pour chaque couple de valeurs de 9 et cp la valeur d’une fonction V0. Il s’agit de trouver une fonction Vt finie, continue et harmonique à V intérieur de la sphère de rayon i et qui, sur la sphère, se réduit à V0.

Développons alors V0 sur la sphère en une série de fonctions sphériques, en admettant que V0 remplisse les conditions qui permettent ce développement :

(ii3) Vo = Y0-h Yi-f-. . .-b Yn-K . ...

La solution du problème sera donnée par (n4) Vf = Y0-f- rYH-s .- .-4- rn Yn-K • • •.

En effet, r étant <7 i à l’intérieur, la série est encore convergente à l’intérieur, si la série primitive l’était et, comme chaque terme est un polynôme harmonique, on a pour tous les points AV( = o.

2° On peut aussi résoudre le problème de Dirichlet pour un point extérieur. 11 s’agit de trouver une fonction Ve qui, sur la sphère, se réduit à V0, qui, à l’extérieur de la sphère, est finie, continue et satisfait à l’équation AVg3: o, enfin qui, à l’infini, tend

vers zéro comme -• r

Pour résoudre ce problème, il suffit de remarquer, comme l’a fait W. Thomson, que l’équation (97), qui définit Yn, ne change pas quand on change n en — (n -f- 1). Or, rttYn est une fonction harmonique, donc Y7i est également une fonction har-

monique.

Si sur la sphère on donne V0, nous aurons à l’extérieur

Tous les termes sont des fonctions harmoniques et à l’infini lapar-

tie principale est ~ •

M . Potentiel d’une simple couche sphérique. — Etant donnée une sphère, supposons que sur la surface soit répandue une couche matérielle infiniment mince (simple couche). Onia définit en donnant la densité superficielle p en chaque point de la sphère. La masse répandue sur un élément d<j sera \xda.

Prenons pour unité le rayon de la sphère, on peut développer p en une série de fonctions Yn :

Chaque fonction Yn dépend de 2 n -h 1 coefficients arbitraires.

Nous nous proposons de calculer le potentiel de cette couche, à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère et sur la sphère. Cherchons à déterminer le potentiel V0 sur la sphère et à le développer en une série de fonctions sphériques. On aura alors le potentiel intérieur et extérieur parla méthode du problème de Dirichlet. Posons

donc