CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHÉRIQUES
Vo — Y f() -t- Y ,j -b . . . -t- Y n h- .... .
Il s’agit de déterminer les fonctions Y'n ou, plus exactement, les coefficients arbitraires des diverses fonctions Y'ft. On aura alors à l’intérieur et à l’extérieur
r*rn.
Pour déterminer V0, écrivons en un point M quelconque de la sphère, c’est-à-dire delà simple couche, la relation connue
dX dX
dn L dne i
On a
d’où
dX
drii
dn t — — dr et r = i, dX i
dr
= — 21 nrn~r Y'„ = — 21 n Y'., ;
2° On a de même
d’où
dne = dr et r— 1,
dX dXe n-+- 1 v . . w,
= - 2 'TÏÏ5T Y" = - + ‘)Y„.
dne
dr
La relation (1 18) ci-dessus devient
Cette relation est vraie pour tous les points de la sphère. Les deux développements constamment égaux représentent donc la même fonction. Comme une fonction n’est développable en fonctions sphériques que d’une seule manière, il faut que les fonctions du même ordre soient les mêmes, c’est-à-dire
On a donc (118')
(2 /Z -h i)Yn= 4tcY„.
Le problème est ainsi complètement résolu.
Remarque. — On pourrait arriver à ce résultat en appliquant directement le théorème de Green. On isolerait le point M par une
demi-sphère intérieure et l’on prendrait ~ pour l’une des fonctions figurant dans le calcul.
