CHAPITRE VI

FONCTIONS DE LAMÉ

42. Historique. — Ces fonctions se sont présentées tout d’abord dans l’étude de la diffusion et de l’équilibre de la chaleur. La surface d’un corps est supposée aune température donnée: en chaque point il s’agit de déterminer le mouvement de la chaleur et s’il y a lieu l’état d’équilibre atteint au bout d’un certain temps. Fourier et Poisson avaient résolu le problème pour une sphère homogène. Ils avaient résolu aussi le problème pour le volume compris entre deux sphères concentriques. Dans ce dernier cas, la température est donnée en chaque point de la surface extérieure et de la surface intérieure et il faut déterminer le mouvement et l’équilibre. Pour résoudre ces problèmes, on se sert des fonctions sphériques que nous avons reconnues être de la forme rnf{®)g{y)-

Le problème pour l’ellipsoïde est resté longtemps sans solution. Lamé l’a résolu en introduisant des fonctions spéciales qu’on appelle maintenant fonctions de Lamé. Quand l’ellipsoïde se réduit à une sphère, les fonctions étudiées par Lamé ( Journal de Liouville , i83g) se réduisent aux fonctions sphériques, qui, à ce point de vue, sont un cas de dégénérescence des fonctions de Lamé. Nous emploierons les notations de Poincaré dans les Figures d'équilibre.

43. Introduction des coordonnées elliptiques. — Considérons les surfaces du second degré

où

et

Les surfaces obtenues quand X varie sont appelées surfaces homofocales. Elles constituent un système triple orthogonal caractérisé chacun par l’une des trois racines en X2de l’équation (i 19). Par tout point P de l’espace passent trois de ces surfaces: i° Un ellipsoïde pour lequel la valeur correspondante de X que nous désignerons par p est plus grande que a. — 20 Un hyperboloïde à une nappe H, ; la valeur de X, que nous désignerons par p, est comprise entre a et b. — 3° Un hyperboloïde à deux nappes H2; la valeur v de X est comprise entre b etc. D’ailleurs on ne peut pas avoir X < c, autrement on aurait des surfaces imaginaires. Ainsi les trois racines positives de l'équation en X qui exprime que les surfaces homofocales passent par un point P sont p, p, v, et l’on a

Ces quantités p. p, v sont les coordonnées elliptiques d’un point de l’espace. A un point P correspond un seul système de valeurs p, p, v, mais à un système de valeurs p, p, v correspondent huit points de l’espace : ce sont les huit points d’intersection des surfaces p, p, v, points qui sont deux à deux symétriques par rapport aux plans de coordonnées.

Donnons-nous donc p, p, v et calculons #, yy z. On a évidemment l’identité fondamentale qui définit p, p, v comme les racines de l’équation ci-dessus

** (p2 X2)(tU2— X2)(v2 — X2)

Le coefficient de X6 est bien — 1 dans les deux membres.

Pour avoir#8, multiplions les deux membres par X2 — a2, puis faisons X2 = a2. On a

On obtient de même poury^ et z

q (p2 — 62)(<jl2 — 62)(v2 — b2) q (p2 — c2)(jjl2 — c2) (v2 — c2)

On obtient toutes les valeurs de x2,y2t z2 en donnant à p, p, v toutes les valeurs possibles dans leur intervalle de variation. On a