CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

d’ailleurs pour a?, y, z un double signe devant le radical. Pour avoir tous les points de l’espace on donnera d’abord à tous les radicaux le signe + et l’on fera varier p de -h oo à a, puis de a à -f- oo, et ainsi de suite en changeant le signe du radical au moment où il s’annule. De même on fera varier pi de a à A, puis de b à a et v de b à c et de c à b, en changeant le signe du radical quand il s’annule.

44. Expressions en p, p, v d’un polynôme en X, y, z. — Considérons un polynôme Q„ (x, y) z) de degré n, homogène ou non. Remplaçons x} y , z par leurs valeurs en p, p, v. Alors Qn devient symétrique en p, p, v puisque x , y, z le sont. De plus, il sera de degré n en p, à condition de convenir que y/p2 — a 2 est du premier degré en p (pour p très grand, cette expression est en effet du premier degré d’infinitude).

Nous allons étudier certaines formes particulières du polynôme Q„ et la forme du polynôme transformé. Nous distinguerons quatre classes :

Première classe. — Le polynôme Q/t est un polynôme en a?2, jK2, z 2, ne contenant que des puissances paires. Si A est son degré par rapport à a?2, y2, z 2, on a n = 2 A-. L’expression transformée est un polynôme en p, p, v, symétrique et de degré 2 A' en p, en p, et en v :

QO2, y 2, z2) = $(p2, p-, v2).

Deuxième classe. — Le polynôme Q/t est de la forme a?P(a?2, y2, z2), où P est un polynôme de degré k en x 2, y2, z 2, d’où 71=2^+ 1. L’expression transformée est

x P(#2, y2, z 2) = G y/p2 — <z2 y/p2 — ci 2 y/v2 — a2 <I>(p2, p2, v2).

C’est une expression de degré 2 k 4- 1, d’après les conventions, car est de degré ik et le produit des radicaux est du premier degré en p, p, v. On aura de même

£ P(a?2, jk2, £2) = G" y/p2 — c2 y/ p2 — - ç2 y/v2 — c2 <ï>(p2, p2, v2);

C, C', C" étant des constantes qui dépendent de a, b , c.

Troisième classe. — Le polynôme Qn est de la forme yz P(ju2, y2, £2), qui est de degré ik -{- 2, si P est de degré k en

L'expression transformée est

= Ci ^(p*— 6s)(ps— c«) vV— **)([**— C») v/(v*— è«)(v>— o>)

X $(p2, {JL2, V2),

<1> étant du degré 2 k en p, p, v, l’expression totale est du degré 2Âr + 2, avec notre convention. On aura encore les deux expressions

zx P(^r2, y'1, z 2)

= G'i V^(P2 — c2)(p2— a2,) \/(p2 — c2)(fx2— a2) \/(v2— c2)(v2— a2)

.rv P(#2, y2, £2)

C'( ^ Cp2 — «2) (p2 — 62 ) v/(p2 — a2) (p2 — ^2) y/(v2 — a2) (v2 — ^2)

Quatrième classe. — est de la forme xyzl?(x2, y2, z 2), donc = 2 /r —J— 3 • L’expression transformée est encore de degré 2/r-f-3, avec nos conventions

xyz P (x2, y2, z2) = G, JJ v/(P2~ a\) (p2~ 62 ) (P2~ c2) $(p2, H-2, v2).

En résumé , nous avons considéré quatre classes de polynômes. La première classe comprend un seul type de degré pair, la deuxième trois types de degré impair, la troisième trois types également de degré pair, enfin la quatrième un seul type de degré impair. Nous avons donc quatre types de degré impair et quatre types de degré pair, en deux classes chacun. Ces huit types suffisent d’ailleurs dans tous les cas puisqu’un polynôme quelconque IL peut toujours être décomposé en une somme de polynômes rentrant dans les types considérés.

Les expressions transformées sont symétriques en p, p, v, et du même degré que les polynômes primitifs en x, y, z} moyennant la convention indiquée.