CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

45. Problème inverse. — Nous allons maintenant, en sens inverse, examiner diverses formes spéciales des expressions transformées et voir à quelle forme des polynômes Q„ elles correspondent.

Soit /(p2) un polynôme de degré k en p2. C’est donc un polynôme de d-egré pair 2 /c, en p. Soient de même /(p2) et /(v2) le même polynôme en p2, v2.

i° Considérons la fonction symétrique en p, p, v, constituée par le produit /(p2)/(p2)/(v2). Puisque c’est une fonction symétrique des racines de l’équation (1 19)

x 2 r2 jz2

c’est une fonction rationnelle des coefficients de cette équation et par conséquent une fonction rationnelle (et même entière) de #2,y2, *2.

Supposons en effet que /(p2) soit décomposé en facteurs, ainsi que/(p2) et /(v2) qui ont les mêmes racines, on a

/( P2) = ( P2— al) ( P2— a2.)- . .( P2— «*),

/O2) = (F2— ai) (h-2— *2)- • -O2— */c),

/( v2) = ) v2— a4) ( v2— oc2). . .( v2— oc*).

Le produit considéré est donc de la forme

'Xei)/(nî)/02) = L[[(p2- ((i2- ^ (v2 ”i)]-

Revenons alors à l’identité fondamentale (120) et faisons-y X2= a,-; on a

(122) (p2 — ai)(p2 — a*-)(v2 — a/) = G

et le produit considéré peut s’écrire

\ai~ 1

- QO2, 72; *2)

qui est un polynôme spécial, décomposé en facteurs quadratiques en x,y, z.

2° Considérons maintenant les expressions

v/p2— a2/(p2), \J ,a2 — Ô2/([x2), yV-— «2/(v2),

et cherchons de quel polynôme est dérivé leur produit.

Le. produit des trois radicaux n’est pas autre chose que x à un facteur constant près. Nous venons de voir la forme du produit des trois fonctions f. On aura donc, en désignant par Q le polynôme de la forme précédente décomposé en facteurs quadratiques, les trois formes suivantes, à un facteur constant près :

VV— <*2/(p2) vV2— «2/<>2) s/v- — «2/(v2) = ^ QO2, J2, *2), vV2— 62/(p2) vV2— 62/(h-2) v/v2— 62 /O2) = 7 Q02> z~)>

\/p2 — c2/(p2) — c2/(^2) v/v2— c2/(v2) = £ QO2, y2, £2).

3° Considérons les expressions suivantes et leur produit

VZ( p2— «2)(P2“ è‘2)/( P2);

on voit immédiatement que l’on a, à des facteurs constants près, pour l’expression des trois produits :

JJ v/(p 2— «2)(p2— 62)/(p2) = a?y Q(^2, y2, *2),

JJ V7(P2 — 62) (P2— ca)/(p*)=ys Q02> 72> *2)>

p, JA, V

JJ v/(p2 c2) (p2— a2)/(p2) = sa? .QO2, y2, s2).

4° Enfin on voit de même que le produit des trois expressions analogues à

sera égal à

.rys Q (a?2, y2, s2).

résumé , les polynômes particuliers que nous venons de considérer se décomposent en quatre classes, qui se ramènent identiquement aux quatre classes x'2, y2, -s2, considérées plus haut :