CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

deux classes d’un seul type, deux classes de trois types; quatre classes paires, quatre impaires.

Gomme tous les polynômes peuvent se décomposer en polynômes de nos huit types en x'2, y2, z 2, ils pourront tous également se ramener à nos huit types de polynômes en p, p, v.

46. Élément linéaire et équation de Laplace en coordonnées elliptiques. — Calculons d’abord ds2. Le système des surfaces p, p, v étant triplement orthogonal, on a simplement

ds2 = dz2-b dy2-b dz 2 = a 2 dp2 H- (32 dp2 -b y2 d'd.

Pour calculer dp, dp, dv, prenons les dérivées logarithmiques des

p dp

v dv

p dp

v dv

p dp

p dut.

v dv

ds 2 = p2 dp2

LO2 — a2)2

Pour calculer l’expression entre crochets, partons de l’identité fondamentale (120) écrite

(fX2 x«)(v»-X«)

' ^ ( X2 et2 } ( X2 — è2 ) ( X2 c2 )

Prenons les dérivées des deux membres par rapport à X2, on a

vp 'dX2 (X2 — a2) (X2 — 62) (X2 — c2)

1 étant arbitraire; faisons l = p dans cette identité, il vient

On a donc pour a2, et de même pour (32 et y2 :

9 = P2(pi2 — p 2 ) (v 2 p2)

(p2— a2)(p2— ô2)(p2 — c2)’ pi2(v2— pt2)(p2— pi2)

expressions que nous pouvons écrire avec Poincaré

( v2— pt2)(p2— pi2)

pt2

où A2 dépend seulement de p, B2 seulement de p, et G2 seulement de v. Écrivons l’équation de Laplace en p, p, v : on a, d’après (91),

) / py dV\ t d fyot. dV\ à / a(3 dV\ p \ a dp / ' dpi \ (3 dpi / + dv \ y dv / ° ’

Êxl./E

Pc^(|i— vS>’

multiplions alors par i, il vient

d r a dvi d r b 7,dvi dre,, , dvi

Tt Lbc («*— v'} 5fJ + Y [ex <v~ p'} 5? J + R Lâb { P2- ^ * J = 0

.Cp2- v2) a

ou enfin, en faisant sortir du signe de dérivation les termes indépendants de la variable de dérivation et multipliant par ABC,

+c-','ci(c3-

11 est commode ici de faire un changement de variables qui est