CHAPITRE VI

FONCTIONS DE LAMÉ

tout indiqué et qui introduit les fonctions elliptiques. En effet, l’expression A — j ? où A ^ apparaît deux fois, conduit à poser

c’est-à-dire

do

= du,

du

= do,

dv

= dw,

p dp

= du.

où p sera fonction uniquement de u et, réciproquement, p. fonction de e et v fonction de w.

Gomme on a

dV

= <>v rfp == v dv

d?£ dp ^p

il viendra finalement

Il faut maintenant exprimer p, p, v en fonctions de w, e, ce, et c’est ici que s’introduisent les fonctions elliptiques. Lamé avait utilisé les notations de Legendre et de Jacobi, qui ont l’inconvénient de n’être pas symétriques. Poincaré a utilise les notations de Weierstrass. '

47. Rappel de quelques notions sur les fonctions elliptiques. i° Le point de départ est celui-ci. Considérons l’équation

(129) = = ds.

gis-

Le polynôme sous le radical est du troisième degré, g\2 et g3 sont des constantes. En intégrant, on tire s en fonction de z en supposant s=zao pour z = o, et l’on pose s = pz qui est la fonction inverse de la fonction z(s) définie par

ds

\Z4tf3 — g%s — gz

2° La fonction pz est la fonction elliptique fondamentale (').

(’) Voir Appel et Lacour, Précis de la Théorie des fonctions elliptiques (Gauthier-Vil lars).

Pour z = o, on a s = oo, et s = o est un pôle d'ordre 2 de y>s. En développant pz dans le voisinage de l’origine, on a

Pz = +Gii*-h..v.

Cette fonction admet deux périodes qu’on désigne par 2w et 2 go', ce qui donne

pO 2<o) = pz, p(z -h 2ü>') = pZ.

3° Dans le cas qui nous occupe, les racines de l’équation du polynôme du troisième degré sous le radical sont réelles :

(i3o) 4s3— gts — gz— 4(5 — ci)’(s — e2)(s — e3) Oa< e2< e±).

On sait que g2 est alors négatif. On a de plus, le coefficient de s 2 étant nul,

e± -f- e2H- ez = o.

Ici, a) est réel, et l’on peut le prendre positif; de plus, go' est purement imaginaire et l’on peut lui donner le signe + .

4° Ce qui nous intéresse, ce sont les valeurs de z qui rendent s réel. Dans le cas actuel, où e,, e2} £3 sont réels, s est réel quand z

Fig. 32.

se déplace sur les côtés du rectangle ayant pour sommets o, go,

GO + GO', GO' ( fig . 32).

Partons de o, pz est infini. Quand z croît de o à go, s = pz décroît de + 00 à . Puis quand z va de go à go -f- go', à co' enfin à o, décroît successivement de à e2) à e3, enfin à — 00. Pour ce dernier point, on voit en effet, par le développement en série, que pz est infini et négatif quand z s’approche de l’origine par valeurs purement imaginaires.