CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ
Ainsi quand la variable imaginaire décrit le contour considéré, la fonction pz prend toutes les valeurs réelles comprises entre -|- oo et — oo.
Nous allons voir, en ce qui concerne les polynômes de Lamé, qu’il faudra, pour avoir des expressions réelles, que u varie de o à gj, v de co à oo + go', enfin w de co -f- go' à co'.
5° On a, en posant s — pz = p,
(l3l> = Pz = ^ s?’ — g z s — 8'-i ~ ^ \/(p — — e.2)(p — ed),
d’où l’on tire, en élevant au carré et dérivant de nouveau,
(l3‘0 ' 2'pyi=^I2p*p/^£'sp/, p"=6p2—
6° Enfin nous avons vu qu’en représentant o dans le plan de la variable complexe, pz est réel (dans le cas où e,, e.j, e3 sont réels) sur le contour du rectangle des demi-périodes et l’on a
P(o) = ±oo, pu = eh p(oj + oj') = e.2, pw'=e:>.
7° On démontre que la fonction y/ pz — ■ e{ est uniforme. H y a là quelque chose d’analogue à ce qui se produit en trigonométrie où la fonction y/ 1 — sin- u est uniforme, malgré le radical. On pose
(03) \p — ev = pu ^p e>> — po, \p — e3=p:i.
Les fonctions jj,, jj2, J3;{ sont doublement périodiques aussi, mais n’ont pas tout à fait les mêmes périodes que y>. Voici le tableau des changements de signe que subissent ces fonctions par l’addition de 2 w ou de 200', ainsi que le tableau de leurs périodes :
Périodes.
2 oo 2 03'
Pi*
Pi*
On a par exemple jj' = 2y>, la dérivée p a pour périodes
2 go et 2 go'; c’est ce qu’on peut vérifier : en ajoutant 2 go, on voit que jj, ne change pas de signe, et en changent tous deux, ce qui ne change pas le signe. Il en est de même avec 2 go'.
APPELL
48. Notations symétriques et réduites de Weier strass. — Rappelons-nous les changements de variables qui définissent z/, r, w, en fonctions de p, p, v, ainsi que l’inégalité
Posons
et
g2 < v2 < b- < fi2 < a- < p2.
p 2 = S -}- g, 2 p c/p = ds
ci- — g = e1; b- — g = e2, c2 — g = g:Jj
où g- est défini par la condition <?, + e3 = o, c’est-à-dire
On ramène ainsi les équations (127') en zizz, dv, dw à la forme réduite de Weierstrass
(i35) ds = du,
où l’on a e3 < e2 < et , car c 2 <C b2 <C a3.
On aura alors ^ == y>zz sous la condition que, pour s — o, u soit infini.
On aura donc p2 = pu -1- g. Or nous savons que p2 doit varier de + 00 à a1. Alors s doit varier de 4- oc à ci- — g— eu il suffit donc de faire varier u de o à co sur l’axe des quantités réelles.
On aura de même p.2 = pu -f- g et pour que p2 soit réel, il faudra faire varier c de co à ca <*>', c’est-à-dire y>c de ex à e-> et p2 de a2 à b 2.
Enfin, on a v2 — pw 4- g. Il faudra faire varier w de 00 -f- co' à c 0', pw de e2 à es et v2 de b- à c >.
Avec ces notations en y> et e , les expressions de x-,y-, z 2 (12 1) deviennent plus simples et s’écrivent symétriquement :
r2 = (p /Z — gj ) (p. ^ — gj ) (p w — e.y) (gx — g2)(g1— g3)
(pu — gg)(pe — g2) (p «•’ ~ e->) O2 — g3) («2 — «i)
s, = (pzz — g3)(pr — g:i)(p<v — g^ ^
(g3— ga)(g:.— g2)
On voit de plus sur ces formules que chaque parenthèse ayant pour racine une fonction uniforme, x , y , ^ sont des fonctions
