CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

uniformes de u, c, ce. En faisant varier u, c, (v dans leur domaine de variation, on obtiendra tous les points de l’espace.

L’équation de Laplace prend de même une forme simple et symétrique, carp2 — v2 devient pv — (pw et AV s’écrit d’après (i 28)

- ( P w — Pu)

de2

-t-(pU'-pf)

div2

Toute solution de cette équation traduite en x, y, z donnera une fonction V(#, y, z ) qui satisfera à l’équation de Laplace.

49. Fonctions de Lamé et produits de Lamé. — i° Prenons l’équation de Laplace sous la forme A V = o et proposons-nous de chercher des polynômes en x, y, 3 de degré /?, qui satisfont à cette équation. Quand on passe des coordonnées x, y, z aux coordonnées p, p, v l’équation AV = o prend la forme ( 1 26) etV devient une fonction entière algébrique de p et des radicaux y/ p2 — a2, y/ p2 — b'1, y/p2 — c2, de pt., de v et des radicaux correspondants. Nous avons vu que V est symétrique en p, pi, y et qu’il est de degré n séparément en p, en pi et en v, à condition de considérer les radicaux comme étant du premier degré. Enfin, quand on passe des coordonnées x, y, z aux coordonnées w, c, ce, alors V devient une fonction algébrique, symétrique, entière des quantités

pu, \!pu — eh [/pu — e.2, \Jpu — ev„ pc,

et AV prend la forme (187).

Réciproquement, si l’on prend de telles fonctions symétriques de p, p, v ou de u, c, ce, en remontant aux x, y, 5, on retrouvera des polynômes.

20 Lamé cherche toutes les solutions de cette nature et les trouve toutes en essayant les solutions de la forme

V'ÿ/(p2)/(fx2)/(v^),

où f est un polynôme, le même dans les trois facteurs.

Cherchons d’abord les solutions de la forme

Y - RMN,

où R dépend seulement de p2, M seulement de p2, et N de y2.

132 figures d’équilibre d'une masse liquide en rotation. Substituons cette valeur de V dans (126), on a

En divisant tout par RMN on obtient l’expression

où le coefficient de p2 — v2 est fonction de p seulement, celui de y- — p2 fonction de p et celui de p2 — p2 fonction de v. Ajoutons à cette équation les deux identités suivantes :

on obtient ainsi trois équations linéaires homogènes, par rapport aux quantités p2 — v2, v2 — p2, p2 — p2. Ces trois quantités ne sont pas nulles toutes à la fois. Le déterminant des coefficients doit donc être nul. Il existe ainsi une relation linéaire et homogène entre les coefficients d’une même colonne. On aura donc, K et H étant des constantes,

ou, d’après (127),

A d R dp J3 d M du.

n dM \

Kc%)

= Kp2 + H,

== Kp2-f- Iï.

= lv v2h- H ,

d'1 R du -

f^ = (Ku*-hH)M.

dvd2N

dw-

:(Kv2H-I1)N.