IJ

Les coefficients sont de plus des polynômes rationnels en p, car À- et sa dérivée AA' sont rationnels en p.

Mais il ne faudra pas prendre de ces équations une solution quelconque. R par exemple devra être un polynôme par rapport à p, \! p - — \/p- — b- y \/ p- — c~. Rien ne prouve pour le moment

qu’une telle solution existe.

Quand on aura une solution R — /(p‘J) delà première équation, M = /(p--) sera une solution de la seconde et N = /(v2) de la troisième, où /représente la même expression. Les fonctions /(p2), /(p2), /(v2) s’appellent les fonctions de Lamé et les produits de deux ou trois de ces fonctions s’appellent les produits de Lamé.

En recommençant les mêmes raisonnements elles mêmes calculs à partir de l’équation (i 3^) et en désignant par R, M, N des fonctions de Uy r, w, on trouve que l’équation qui définit R s’écrit de même

^-[k(p„-H.?) + nin = o

ou, en posant h — K " -f- H,

où les constantes Iv et h doivent être convenablement déterminées.

50. Recherche de solutions particulières. — Lamé a donné de ces équations des solutions se rapportant aux quatre classes déjà étudiées plus haut. Si /désigne un polynôme de degré À en p2, n étant le degré total de R en p, on a :

(I) R =/(p-) ( n — 2À; degré pair, une forme);

(II) R = V7?- — «2/(p2)> R - V7P2 — p' = V P' — c~f (P®)

(« = 2/c + i; degré impair, trois formes);

(HI) R= \/( p - — ) ( p" — b1 ) /( p’2 ),

(/?. = 2 k 2 ; degré pair, trois formes);

(n = 2 A: -h 3; degré impair, une forme).