IV

1 34 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’üNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

On a quatre formes de degré pair, quatre de degré impair en p, soit en tout huit formes pour chaque entier k , au moins à partir de k — i .

Si nous remplaçons les expressions en p par les expressions correspondantes en pu, nous aurons

pu=h

Les expressions R auront donc des formes analogues à celles en p et qui seront du même ordre en ^ > car f est du degré k en pu et chaque radical est de l’ordre de ^ • L’ordre total sera encore n.

Les considérations précédentes permettent de fixer la valeur de K dans l’équation différentielle (i4°)-

Supposons en effet qu’il existe des solutions de l’une des quatre classes indiquées et que cette solution soit d’ordre n. En développant cette solution par rapport aux puissances décroissantes

de -> on aura u

^ i éZR 11 cZ-R n(nr- t-i)

En portant ces valeurs dans l’équation différentielle il vient un+* \ un ) \if- J

d’où, en égalant les coefficients de u~^n+-\

K = n(ri -h i).

Ainsi la constante K est déterminée dès qu’on se donne l’ordre de la fonction que l’on cherche. L’équation prendra alors la forme