CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ
constante de façon que la solution soit de l’un des types indiqués. Si l’on n’assujettissait pas la solution à cette condition, on pourrait encore intégrer l’équation, comme l’a fait Hermite, et la solution générale serait donnée par des fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Les travaux d’Hermite sur cette question ont été le point de départ de travaux importants sur l’intégration des équations différentielles linéaires, dont les coefficients sont doublement périodiques, travaux que domine un théorème deM. Picard.
Lamé s’est occupé seulement du cas où la solution est de l’un des types indiqués.
i° Degré pair . — Soit n — 2 A ou 2/1 + 2. Alors R appartient à la classe I ou à la classe III. On a d’abord dans la classe I
R == /(pii) = pk u aj p*-1 u +- a2 pk~~ u -f- ... H- a*-i p « H- a*.
Nous allons voir qu’il y a des solutions à condition que A ait des valeurs spéciales, qui soient les racines d’une certaine équation algébrique. Prenons en effet les deux premières dérivées de R :
— == [Ap*-i u 4- <7c — 1)34 p k " u +- oc*, ]p' u, cfi R
~dgY ~ lk(k— i)p*~2m + (A— i)(A— 2)aipk-zu^...]p'*u + [kpk-iu-h...]p"u.
Remplaçons ja' et p" par leurs valeurs ( 1 3 1 ) et portons et R dans l’équation différentielle (i4i), elle devient
[ A( A — i)p*-2 -+ .... ] (4 p3— g-,p — g.) [ ApÆ-i ^6 P2— y ^2)
= [n(n 4- i)p H- h] [p*4- a, pk~l + . . .].
En égalant les coefficients des termes du plus haut degré en p , c’est-à-dire du terme ja*-1"1, on a
4 A(A — 1) 4- 6 k = n(n -h 1) ou 2 A(2 k 4- 1) = n (ji -h 1).
Cette équation donne n — 2 A et détermine le degré A du polynôme en ja. Les coefficients du terme en ja* donnent
ou
l36 FIGURES D'ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
Celte équation détermine a, en fonction de A, par une expression du premier degré en A. On obtiendra ensuite a2 par une expression du premier degré en a, et en A, mais contenant le produit a, A. Elle sera donc du second degré en A et ainsi de suite. En égalant à o le terme constant de l’identité, on obtiendra une dernière relation entre a,, a2, . . et A. En remplaçant dans cette relation tous
les a par leurs valeurs en fonction de A, on obtiendra finalement une équation C(A) = o de degré A-}- i, dont toutes les racines sont réelles. A chaque racine, correspondra une solution du type considéré. L’équation en A ainsi obtenue est l’équation caractéristique du cas étudié. Nous l’écrirons
Ï1 faudra ensuite porter ces k -f- i racines dans les valeurs des a pour obtenir les k- f- i solutions. Si certaines racines en A étaient imaginaires, il en serait de même de certains coefficients a. Par exemple a, étant une fonction linéaire de A, si h est imaginaire, a, le sera aussi. De même si deux valeurs de A sont distinctes, les valeurs correspondantes de a,, et par conséquent les solutions, seront également distinctes.
Dans la classe III l’expression R s’écrira
Le polynôme en p u commence par y»*-1 de façon que le produit commence par jj2*, car on a posé encore ici n — 2/r, et non pas 2 A -H 2 comme dans le tableau général pour la troisième classe. On déterminera les ,3,, (32, . . . , comme dans le cas précédent. Il y a maintenant k — 1 coefficients et k équations. En éliminant ces k ■ — 1 coefficients, on obtiendra donc une équation caractéristique de degré k en A. Si nous désignons par III,, IIL, III 3 chacune des trois formes de cette classe, on aura les équations caractéristiques
(i44) = o, Gf’(A) = o, Ci"V0 = o,
qui nous donneront chacune k valeurs de A, à chacune desquelles correspondra une valeur de R, et aussi une fonction M et une fonction N.
